Couronne

Séparation des variables · niveau 2

Énoncé

Dans la couronne $a < r < b$ , on cherche $u$ harmonique.

Avec $u (a, θ) = 0$ et $u (b, θ) = U$ (constante), montrer que $u = U \frac{ln ( r / a )}{ln ( b / a )}$ . Pourquoi ne peut-on pas, ici, éliminer la solution $ln r$ ?
Avec $u (a, θ) = 0$ et $u (b, θ) = U cos θ$ , chercher $u$ sous la forme $(A r + B / r) cos θ$ .

Par symétrie, on cherche $u = u (r)$ : $u = A ln r + B$ (exemple 8.4). Les conditions donnent $A ln a + B = 0$ et $A ln b + B = U$ , d'où $u = U \frac{l n ( r / a )}{l n ( b / a )}$ . L'origine n'appartient pas au domaine : rien n'oblige $u$ à être bornée en $r = 0$ , et la solution $ln r$ est indispensable.
$(A r + B / r) cos θ$ est harmonique (exercice 8.11). Les conditions donnent $A a + B / a = 0$ et $A b + B / b = U$ , d'où $A = \frac{U b}{b ^{2} - a ^{2}}$ , $B = - \frac{U a ^{2} b}{b ^{2} - a ^{2}}$ :

$u (r, θ) = \frac{U b}{b ^{2} - a ^{2}} (r - \frac{a ^{2}}{r}) cos θ .$

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