Disque : une donnée trigonométrique

${\cos }^2\theta =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos (2\theta )$ : la donnée a seulement deux coefficients non nuls, $a_0=\frac{1}{2}$ et $a_2=\frac{1}{2}$. Donc

$$u(r,\theta )=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(\frac{r}{R}{)}^2\cos (2\theta )=\frac{1}{2}+\frac{x^2-y^2}{2R^2}.$$

On vérifie $\Delta u=\frac{1}{R^2}-\frac{1}{R^2}=0$ et $u(R,\theta )={\cos }^2\theta$. Au centre, $u(0)=\frac{1}{2}=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{\cos }^2\theta \mathrm{d}\theta$ : c'est la formule de la moyenne.