Ondes radiales et équation de Bessel — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 9)

Ondes radiales et équation de Bessel

Séparation des variables · niveau 2

Énoncé

Dans $R^{n}$ , on considère $Δ f = \frac{\partial ^{2} f}{\partial t ^{2}}$ et on cherche des solutions $f = g (t) h (r)$ , avec $r = ∣ x ∣$ et $g$ périodique non constante.

Montrer que, pour une fonction radiale, $Δ h = h^{''} + \frac{n - 1}{r} h^{'}$ .
En déduire que $g^{''} + ω^{2} g = 0$ et $h^{''} + \frac{n - 1}{r} h^{'} + ω^{2} h = 0$ pour un $ω > 0$ .
Montrer que $h (r) = r^{1 - n /2} J_{n /2 - 1} (ω r)$ est solution (on admettra que $J_{ν}$ vérifie l'équation de Bessel d'ordre $ν$ ). Que donne le cas $n = 3$ ?

Corrigé

Pour $h (r)$ avec $r = ∣ x ∣$ , $\frac{\partial r}{\partial x _{i}} = x_{i} / r$ , donc $\frac{\partial h}{\partial x _{i}} = h^{'} \frac{x _{i}}{r}$ et $\partial_{x_{i}}^{2} h = h^{''} \frac{x _{i}^{2}}{r ^{2}} + h^{'} (\frac{1}{r} - \frac{x _{i}^{2}}{r ^{3}})$ . En sommant sur $i$ : $Δ h = h^{''} + \frac{n - 1}{r} h^{'}$ .
$g^{''} h = g Δ h$ donne $\frac{g ^{''}}{g} = \frac{Δ h}{h} =$ constante ; $g$ périodique non constante impose une constante négative $- ω^{2}$ : $g^{''} + ω^{2} g = 0$ et $h^{''} + \frac{n - 1}{r} h^{'} + ω^{2} h = 0$ .
Le report de $h = r^{1 - n /2} J_{n /2 - 1} (ω r)$ , en utilisant l'équation de Bessel d'ordre $ν = \frac{n}{2} - 1$ , donne $0$ (calcul vérifié par calcul formel pour $n = 2, 3, 4$ ). Pour $n = 3$ , $ν = \frac{1}{2}$ et $J_{1/2} (s) = \frac{2}{π s} sin s$ : on obtient $h = C \frac{s i n ( ω r )}{r}$ , l'onde sphérique stationnaire.