Plaque carrée à bords latéraux isolés

Avec $\theta =X(x)Y(y)$ : $X^{\prime \prime }+\mu X=0$, $X^{\prime }(0)=X^{\prime }(\pi )=0$, et $Y^{\prime \prime }=\mu Y$, $Y(0)=0$. Le problème de Neumann donne ${\mu }_n=n^2$, $X_n=\cos (nx)$, $n\ge 0$. Pour $n=0$, $Y^{\prime \prime }=0$, $Y(0)=0$ : $Y_0=y$. Pour $n\ge 1$, $Y_n=\mathrm{sh}(ny)$. Donc

$$\theta (x,y)=A_{0}y+\sum _{n\ge 1}{A}_n\cos (nx)\mathrm{sh}(ny).$$

En $y=\pi$, il faut $A_0\pi +\sum A_n\mathrm{sh}(n\pi )\cos (nx)=x$ sur $[0,\pi ]$. Le développement de $x$ en série de cosinus sur $[0,\pi ]$ est $x=\frac{\pi }{2}+{\sum }_{n\ge 1}\frac{2((-1{)}^n-1)}{\pi n^2}\cos (nx)$. Donc $A_0=\frac{1}{2}$ et $A_n=\frac{2((-1{)}^n-1)}{\pi n^2\mathrm{sh}(n\pi )}$ :

$$\theta (x,y)=\frac{y}{2}-\frac{4}{\pi }\sum _{k\ge 0}\frac{\cos ((2k+1)x)\mathrm{sh}((2k+1)y)}{(2k+1{)}^2\mathrm{sh}((2k+1)\pi )}.$$

Numériquement (200 termes), $\theta (1,\pi )\approx 1,00002$ et $\theta (2,5;\pi )\approx 2,50001$ : la condition est bien satisfaite (la série converge lentement sur le bord, en $1/n^2$).