Rectangle avec un flux imposé — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 9)

Rectangle avec un flux imposé

Séparation des variables · niveau 2

Énoncé

On considère, dans $] 0, a [\times] 0, b [$ , le problème

$Δ u = 0, u (0, y) = u (a, y) = 0, u (x, 0) = 0, \frac{\partial u}{\partial y} (x, b) = h (x) .$

Montrer que, si $h = 0$ , la séparation des variables ne fournit que la solution nulle.
Pour $a = b = 1$ et $h = 1$ , calculer la solution sous forme de série et en donner une valeur approchée au centre.

La séparation $u = X (x) Y (y)$ donne $X^{''} / X = - Y^{''} / Y = - μ$ , avec $X (0) = X (a) = 0$ , $Y (0) = 0$ , et, si $h = 0$ , $Y^{'} (b) = 0$ . Le problème en $x$ impose $μ_{n} = (nπ / a)^{2}$ ; alors $Y = α ch \frac{nπ y}{a} + β sh \frac{nπ y}{a}$ , $Y (0) = 0$ donne $α = 0$ et $Y^{'} (b) = β \frac{nπ}{a} ch \frac{nπ b}{a} = 0$ donne $β = 0$ (un $ch$ ne s'annule pas). Toutes les solutions produits sont nulles, et la seule solution est $u = 0$ .
Avec $h = 1$ : $h_{n} = 2 \int_{0}^{1} sin (nπ x) d x = \frac{4}{nπ}$ pour $n$ impair, $0$ sinon. Comme $C_{n} nπ ch (nπ) = h_{n}$ ,

$u (x, y) = n impair \sum \frac{4}{( nπ ) ^{2}} \frac{sh ( nπ y )}{ch ( nπ )} sin (nπ x), u (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \approx 0, 0801.$

(Somme calculée numériquement ; le premier terme vaut déjà $0, 0805$ .)