Refroidissement d'une barre — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 9)

Refroidissement d'une barre

Séparation des variables · niveau 2

Énoncé

Résoudre par séparation des variables

$\frac{\partial u}{\partial t} = κ \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} (0 < x < L, t > 0), u (0, t) = u (L, t) = 0, u (x, 0) = u_{0} (x) .$

On notera $- μ$ la constante de séparation et on discutera selon le signe de $μ$ . Donner la solution pour $u_{0} (x) = sin \frac{π x}{L}$ , puis pour $u_{0} (x) = sin \frac{π x}{L} + \frac{1}{2} sin \frac{3 π x}{L}$ , et comparer la vitesse de décroissance des deux termes.

Corrigé

Avec $u = X (x) T (t)$ non nulle : $\frac{T ^{'}}{κ T} = \frac{X ^{''}}{X} = - μ$ , d'où $X^{''} + μ X = 0$ , $X (0) = X (L) = 0$ et $T^{'} + κ μ T = 0$ .

$μ < 0$ ou $μ = 0$ : seule la solution $X = 0$ convient (proposition 9.1).
$μ = ω^{2} > 0$ : $X = B sin (ω x)$ avec $sin (ω L) = 0$ , soit $μ_{n} = (\frac{nπ}{L})^{2}$ , $X_{n} = sin \frac{nπ x}{L}$ , $n \geq 1$ .

Puis $T_{n} = e^{- κ (nπ / L)^{2} t}$ . Par superposition,

$u (x, t) = n \geq 1 \sum b_{n} sin \frac{nπ x}{L} e^{- κ (nπ / L)^{2} t}, b_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} u_{0} (x) sin \frac{nπ x}{L} d x .$

Pour $u_{0} = sin \frac{π x}{L}$ , $b_{1} = 1$ et $b_{n} = 0$ sinon (orthogonalité) : $u = sin \frac{π x}{L} e^{- κ π^{2} t / L^{2}}$ . Pour la seconde donnée,

$u = sin \frac{π x}{L} e^{- κ π^{2} t / L^{2}} + \frac{1}{2} sin \frac{3 π x}{L} e^{- 9 κ π^{2} t / L^{2}} .$

Le second terme décroît neuf fois plus vite (en échelle logarithmique) : au bout de $t = L^{2} / (κ π^{2})$ , le premier est divisé par $e \approx 2, 7$ , le second par $e^{9} \approx 8100$ . Les détails fins de la donnée initiale disparaissent les premiers.