Séparation pour des équations d'ordre 1 — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 9)

Séparation pour des équations d'ordre 1

Séparation des variables · niveau 2

Énoncé

Chercher, par séparation des variables $f (x, y) = X (x) Y (y)$ , des solutions des équations suivantes :

$\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} = 0$ ;
$\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} = (x + y) f$ ;
$y^{2} \frac{\partial f}{\partial x} - x^{2} \frac{\partial f}{\partial y} = 0$ ;
$x \frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} + 2 y f = 0$ ( $x > 0$ ).

Pour la première, comparer avec la solution générale obtenue au chapitre 8 (exercice 8.10).

$X^{'} Y + X Y^{'} = 0$ donne $\frac{X ^{'}}{X} = - \frac{Y ^{'}}{Y} = C$ , donc $f = K e^{C (x - y)}$ . Ce sont des cas particuliers de la solution générale $f = ϕ (x - y)$ de l'équation de transport.
$\frac{X ^{'}}{X} - x = - (\frac{Y ^{'}}{Y} - y) = C$ , donc $X = e^{x^{2} /2 + C x}$ , $Y = e^{y^{2} /2 - C y}$ et $f = K exp (\frac{x ^{2} + y ^{2}}{2} + C (x - y))$ .
$y^{2} X^{'} Y = x^{2} X Y^{'}$ donne $\frac{X ^{'}}{x ^{2} X} = \frac{Y ^{'}}{y ^{2} Y} = C$ , donc $f = K exp (\frac{C}{3} (x^{3} + y^{3}))$ .
$x X^{'} Y^{'} = - 2 y X Y$ donne $\frac{x X ^{'}}{X} = - \frac{2 y Y}{Y ^{'}} = C$ ( $C \neq = 0$ ), donc $X = x^{C}$ et $\frac{Y ^{'}}{Y} = - \frac{2 y}{C}$ , $Y = e^{- y^{2} / C}$ : $f = K x^{C} e^{- y^{2} / C}$ .

On vérifie chaque solution par report (vérification faite par calcul formel).