Une extrémité isolée — exercice corrigé d'analyse fonctionnelle (école d'ingénieur) (chapitre 9)

Une extrémité isolée

Séparation des variables · niveau 2

Énoncé

Déterminer les valeurs propres et fonctions propres de $X^{''} + μ X = 0$ , $X (0) = 0$ , $X^{'} (L) = 0$ , et vérifier leur orthogonalité.
Résoudre $\frac{\partial u}{\partial t} = κ \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$ , $u (0, t) = 0$ , $\frac{\partial u}{\partial x} (L, t) = 0$ , $u (x, 0) = U_{0}$ .
Pour $L = 1$ , $κ = 1$ , $U_{0} = 1$ , évaluer la température de l'extrémité isolée à l'instant $t = 0, 1$ .

Pour $μ \leq 0$ , seule la solution nulle convient (comme dans la proposition 9.1). Pour $μ = ω^{2} > 0$ , $X = B sin (ω x)$ et $X^{'} (L) = B ω cos (ω L) = 0$ impose $ω L = \frac{π}{2} + nπ$ : $μ_{n} = (\frac{( 2 n + 1 ) π}{2 L})^{2}$ , $X_{n} = sin \frac{( 2 n + 1 ) π x}{2 L}$ , $n \geq 0$ . Pour $n \neq = m$ , $\int_{0}^{L} X_{n} X_{m} = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} (cos \frac{( n - m ) π x}{L} - cos \frac{( n + m + 1 ) π x}{L}) d x = 0$ , et $\int_{0}^{L} X_{n}^{2} = \frac{L}{2}$ .
$u = \sum_{n \geq 0} c_{n} X_{n} (x) e^{- κ μ_{n} t}$ avec $c_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} U_{0} X_{n} = \frac{4 U _{0}}{( 2 n + 1 ) π}$ .
En $x = 1$ , $sin \frac{( 2 n + 1 ) π}{2} = (- 1)^{n}$ ; la somme numérique donne $u (1; 0, 1) \approx 0, 949$ (le premier terme seul, $\frac{4}{π} e^{- π^{2} /40} \approx 0, 995$ , ne suffit pas encore).