Condition CFL pour l'équation de la chaleur — exercice corrigé d'analyse numérique (école d'ingénieur) (chapitre 5)

Condition CFL pour l'équation de la chaleur

Approximation & intégration

Énoncé

On discrétise $\partial_{t} u = α \partial_{xx} u$ ( $α > 0$ ) par le schéma explicite (Euler en temps, différences centrées en espace) : $\frac{u _{i}^{n + 1} - u _{i}^{n}}{Δ t} = α \frac{u _{i + 1}^{n} - 2 u _{i}^{n} + u _{i - 1}^{n}}{Δ x ^{2}} .$ Par analyse de von Neumann, déterminer la condition de stabilité sur $r = \frac{α Δ t}{Δ x ^{2}}$ .

Corrigé

On injecte un mode de Fourier $u_{i}^{n} = ξ^{n} e^{i k x_{i}}$ et on cherche le facteur d'amplification $ξ$ . Avec $x_{i} = i Δ x$ : $ξ = 1 + r (e^{i k Δ x} - 2 + e^{- i k Δ x}) = 1 + r (2 cos (k Δ x) - 2) .$ En posant $θ = k Δ x$ et avec $1 - cos θ = 2 sin^{2} (θ /2)$ : $ξ (θ) = 1 - 4 r sin^{2} (\frac{θ}{2}) .$

Stabilité $⟺ ∣ ξ (θ) ∣ \leq 1$ pour tout $θ$ . Comme $sin^{2} (θ /2) \in [0, 1]$ , $ξ$ varie dans $[1 - 4 r, 1]$ . La borne $ξ \leq 1$ est toujours vraie ( $r \geq 0$ ) ; la borne $ξ \geq - 1$ impose $1 - 4 r \geq - 1 ⟺ r \leq \frac{1}{2} .$

Condition CFL : $\frac{α Δ t}{Δ x ^{2}} \leq \frac{1}{2}$ Le pas de temps est contraint par $Δ t \leq \frac{Δ x ^{2}}{2 α}$ : raffiner l'espace d'un facteur 2 force un pas de temps 4 fois plus petit (coût quadratique), ce qui motive les schémas implicites inconditionnellement stables.