calcul tensoriel (école d'ingénieur) · Chapitre 1 · Application directe du cours

Base duale et changement de base

Systèmes de coordonnées · niveau 2

Énoncé

Montrer, à partir de la seule relation $E^{k} (E_{l}) = δ_{l}^{k}$ et de $E_{l} = \frac{\partial x ^{i}}{\partial y ^{l}} e_{i}$ , que $E^{k} = \frac{\partial y ^{k}}{\partial x ^{i}} e^{i}$ .

Corrigé

Écrivons $E^{k} = M_{i}^{k} e^{i}$ avec des coefficients inconnus. Alors $δ_{l}^{k} = E^{k} (E_{l}) = M_{i}^{k} \frac{\partial x ^{j}}{\partial y ^{l}} e^{i} (e_{j}) = M_{i}^{k} \frac{\partial x ^{i}}{\partial y ^{l}}$ , c'est-à-dire $M J = I$ . Donc $M = J^{- 1}$ , soit $M_{i}^{k} = \partial y^{k} / \partial x^{i}$ .

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