Bras robotique : modèle cinématique — exercice corrigé de calcul tensoriel (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Bras robotique : modèle cinématique

Systèmes de coordonnées · niveau 2

Énoncé

On reprend le bras de l'exemple 1.3 avec deux segments de même longueur, $ℓ_{1} = ℓ_{2} = ℓ$ .

Montrer que la distance de la pince à l'épaule vaut $2 ℓ ∣ cos (θ_{2} /2)∣$ . En déduire l'ensemble des points atteignables, puis interpréter géométriquement les deux configurations singulières.
Dans la configuration $θ_{1} = π /4$ , $θ_{2} = π /2$ , calculer $J$ et $det J$ , puis la vitesse de la pince lorsque seul le coude tourne ( $θ ˙_{1} = 0$ , $θ ˙_{2} = ω$ ). Vérifier qu'elle est perpendiculaire au second segment.
Toujours dans cette configuration, quelles vitesses articulaires faut-il pour que la pince monte verticalement à la vitesse $c$ ?

Corrigé

$O P^{2} = ℓ^{2} + ℓ^{2} + 2 ℓ^{2} cos θ_{2} = 2 ℓ^{2} (1 + cos θ_{2}) = 4 ℓ^{2} cos^{2} (θ_{2} /2)$ . Quand $θ_{2}$ parcourt $[0, 2 π [$ , la distance prend toutes les valeurs de $[0, 2 ℓ]$ , et $θ_{1}$ oriente le bras : le robot atteint tout le disque de rayon $2 ℓ$ . Les singularités sont les bords de cet ensemble : bras tendu ( $θ_{2} = 0$ , cercle de rayon $2 ℓ$ ) et bras replié ( $θ_{2} = π$ , la pince revient à l'épaule). Sur un bord, on ne peut pas sortir de l'ensemble atteignable : une direction de vitesse est perdue.
Avec $θ_{1} + θ_{2} = 3 π /4$ :

$J = ℓ (- 2 0 - \frac{2}{2} - \frac{2}{2}), det J = ℓ^{2} (= ℓ^{2} sin θ_{2}) .$

Pour $U = (0, ω)$ , $u = J U = - \frac{2}{2} ℓ ω (1, 1)$ , de norme $ℓ ω$ . Le second segment est dirigé selon $(cos \frac{3 π}{4}, sin \frac{3 π}{4}) \propto (- 1, 1)$ , et $(1, 1) \cdot (- 1, 1) = 0$ : la pince tourne autour du coude, comme il se doit.

$U = J^{- 1} (0, c) = (\frac{2 c}{2 ℓ}, - \frac{2 c}{ℓ})$ : le coude doit tourner deux fois plus vite que l'épaule, en sens inverse.