calcul tensoriel (école d'ingénieur) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Calculer avec la convention d'Einstein

Systèmes de coordonnées · niveau 2

Énoncé

Dans $R^{3}$ , on donne les composantes $(a^{1}, a^{2}, a^{3}) = (1, 2, - 1)$ d'un vecteur, $(b_{1}, b_{2}, b_{3}) = (3, 0, 2)$ d'une forme linéaire et la matrice

$[A_{j}^{i}] = 1 - 1 0 031201 (ligne i, colonne j) .$

Calculer $a^{i} b_{i}$ , les trois nombres $A_{j}^{i} a^{j}$ , les trois nombres $b_{i} A_{j}^{i}$ , puis $b_{i} A_{j}^{i} a^{j}$ de deux façons. Calculer enfin $A_{i}^{i}$ et $A_{j}^{i} A_{i}^{j}$ .

Calculer $δ_{j}^{i} δ_{i}^{j}$ et $δ_{i}^{i} δ_{j}^{j}$ en dimension $n$ . Pourquoi ces deux écritures, qui ne diffèrent que par la place des indices, ne donnent-elles pas le même nombre ?
Soit $S_{ij}$ symétrique ( $S_{ij} = S_{j i}$ ) et $W^{ij}$ antisymétrique ( $W^{ij} = - W^{j i}$ ). Montrer que $S_{ij} W^{ij} = 0$ en renommant les indices muets, sans rien développer.
Soit la forme quadratique $q (x) = B_{ij} x^{i} x^{j}$ . En utilisant $\partial x^{i} / \partial x^{k} = δ_{k}^{i}$ , montrer que $\partial q / \partial x^{k} = (B_{k j} + B_{j k}) x^{j}$ . Vérifier sur $q = (x^{1})^{2} + 4 x^{1} x^{2} + 3 (x^{2})^{2}$ , écrite avec $B_{11} = 1$ , $B_{12} = 4$ , $B_{21} = 0$ , $B_{22} = 3$ .
En dimension $3$ , combien de relations l'écriture $c^{i} = T_{j k}^{i} u^{j} v^{k}$ contient-elle, et combien de termes compte le membre de droite de chacune ?

Corrigé

$a^{i} b_{i} = 3 + 0 - 2 = 1$ . Ensuite $A_{j}^{i} a^{j} = (1 - 2, - 1 + 6, 2 - 1) = (- 1, 5, 1)$ et $b_{i} A_{j}^{i} = (3, 2, 8)$ (on somme sur les lignes). D'où $b_{i} (A_{j}^{i} a^{j}) = - 3 + 0 + 2 = - 1$ et $(b_{i} A_{j}^{i}) a^{j} = 3 + 4 - 8 = - 1$ : l'ordre des sommations est indifférent. Enfin $A_{i}^{i} = 1 + 3 + 1 = 5$ et $A_{j}^{i} A_{i}^{j} = tr (A^{2}) = 1 + 9 + 1 = 11$ .
$δ_{j}^{i} δ_{i}^{j} = δ_{i}^{i} = n$ , tandis que $δ_{i}^{i} δ_{j}^{j} = n \times n = n^{2}$ . Dans le premier monôme, $i$ et $j$ lient les deux facteurs : c'est une seule somme double qui ne garde que les termes $i = j$ . Dans le second, chaque facteur est une trace, et l'on multiplie deux traces.
Les indices muets se renomment librement ; on échange $i$ et $j$ , puis on utilise les symétries : $S_{ij} W^{ij} = S_{j i} W^{j i} = S_{ij} (- W^{ij}) = - S_{ij} W^{ij}$ , donc $S_{ij} W^{ij} = 0$ . Seule la partie symétrique d'un tenseur survit contre un tenseur symétrique, et réciproquement.
$\frac{\partial q}{\partial x ^{k}} = B_{ij} δ_{k}^{i} x^{j} + B_{ij} x^{i} δ_{k}^{j} = B_{k j} x^{j} + B_{ik} x^{i} = (B_{k j} + B_{j k}) x^{j}$ , en renommant $i$ en $j$ dans le second terme. L'indice libre $k$ est en bas des deux côtés : la grammaire est respectée. Sur l'exemple, $\partial q / \partial x^{1} = 2 x^{1} + (4 + 0) x^{2} = 2 x^{1} + 4 x^{2}$ et $\partial q / \partial x^{2} = (0 + 4) x^{1} + 6 x^{2}$ , ce que confirme la dérivation directe.
L'indice libre $i$ donne $3$ relations ; les indices muets $j$ et $k$ prennent chacun $3$ valeurs, soit $3 \times 3 = 9$ termes par relation.

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