Ce que la grammaire des indices interdit

Systèmes de coordonnées · niveau 2

Énoncé

Démontrer $tr (A B C) = tr (C A B)$ à l'aide de la convention d'Einstein.
Lors d'un changement de base de matrice $P$ , la matrice d'un endomorphisme devient $A^{'} = P^{- 1} A P$ . Écrire cette relation avec des indices et montrer que $A_{k}^{' k} = A_{i}^{i}$ : la trace est un invariant.
La matrice $B$ d'une forme bilinéaire devient, elle, $B^{'} = P^{T} B P$ . Pour $P = 2 I_{n}$ , comparer $\sum_{i} B_{ii}^{'}$ et $\sum_{i} B_{ii}$ . Quelle règle de la convention d'Einstein l'écriture « $B_{ii}$ » viole-t-elle ?

Corrigé

$tr (A B C) = A_{j}^{i} B_{k}^{j} C_{i}^{k} = C_{i}^{k} A_{j}^{i} B_{k}^{j} = tr (C A B)$ : on a seulement réordonné des nombres.
$A_{l}^{' k} = (P^{- 1})_{i}^{k} A_{j}^{i} P_{l}^{j}$ , donc $A_{k}^{' k} = P_{k}^{j} (P^{- 1})_{i}^{k} A_{j}^{i} = δ_{i}^{j} A_{j}^{i} = A_{i}^{i}$ .
$B^{'} = 4 B$ , donc $\sum_{i} B_{ii}^{'} = 4 \sum_{i} B_{ii}$ : ce nombre dépend de la base, ce n'est pas un invariant. L'écriture $B_{ii}$ somme sur un indice répété deux fois en bas, ce que la règle 1 interdit ; la grammaire des indices a détecté l'erreur avant tout calcul. (Pour contracter $B$ , il faut d'abord monter un indice avec le tenseur métrique, chapitre 2.)

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