Changement d'unité général

Systèmes de coordonnées · niveau 2

Énoncé

On pose $x^{i} = k y^{i}$ avec $k > 0$ .

Exprimer $E_{i}$ et $E^{i}$ en fonction de $e_{i}$ et $e^{i}$ .
Par quel facteur le « faux gradient » $\sum_{i} (\partial f / \partial y^{i}) E_{i}$ diffère-t-il de $\sum_{i} (\partial f / \partial x^{i}) e_{i}$ ? Et la différentielle $d f$ ?

Corrigé

$\partial x^{i} / \partial y^{k} = k δ_{k}^{i}$ , donc $E_{i} = k e_{i}$ et $E^{i} = \frac{1}{k} e^{i}$ .
$\partial f / \partial y^{i} = k \partial f / \partial x^{i}$ , donc le faux gradient vaut $k^{2} \sum_{i} (\partial f / \partial x^{i}) e_{i}$ : il dépend de l'unité choisie. En revanche, $\sum_{i} (\partial f / \partial y^{i}) E^{i} = \sum_{i} k (\partial f / \partial x^{i}) \frac{1}{k} e^{i} = d f$ .

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