Composition : les coordonnées log-polaires — exercice corrigé de calcul tensoriel (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Composition : les coordonnées log-polaires

Systèmes de coordonnées · niveau 2

Énoncé

On pose $x^{1} = e^{ρ} cos θ$ , $x^{2} = e^{ρ} sin θ$ ( $ρ \in R$ ).

Calculer directement la jacobienne $J$ et $det J$ .
Ce changement est la composée de $r = e^{ρ}$ (le couple $(ρ, θ) \mapsto (r, θ)$ ) et des coordonnées polaires. Écrire la règle de dérivation des fonctions composées avec la convention d'Einstein, et retrouver $J$ comme un produit de deux jacobiennes.
Montrer que $E_{ρ}$ et $E_{θ}$ sont orthogonaux et de même norme : le changement conserve les angles. En traitement d'images, on rééchantillonne une image en coordonnées log-polaires : que deviennent une rotation d'angle $α$ et un zoom de facteur $λ$ autour de l'origine ?

$J = e^{ρ} (cos θ sin θ - sin θ cos θ)$ , $det J = e^{2 ρ}$ .
Avec des coordonnées intermédiaires $y^{j}$ entre $z^{k}$ et $x^{i}$ : $\frac{\partial x ^{i}}{\partial z ^{k}} = \frac{\partial x ^{i}}{\partial y ^{j}} \frac{\partial y ^{j}}{\partial z ^{k}}$ (somme sur $j$ ), c'est-à-dire $J_{x \leftarrow z} = J_{x \leftarrow y} J_{y \leftarrow z}$ . Ici

$(cos θ sin θ - r sin θ r cos θ) (e^{ρ} 0 01) avec r = e^{ρ}$

redonne bien $J$ .

Les colonnes de $J$ sont orthogonales et toutes deux de norme $e^{ρ}$ . Une rotation $θ \mapsto θ + α$ devient une translation selon $θ$ , et un zoom $r \mapsto λ r$ devient la translation $ρ \mapsto ρ + ln λ$ : c'est pourquoi la représentation log-polaire sert à reconnaître des formes indépendamment de leur orientation et de leur taille.