Coordonnées elliptiques — exercice corrigé de calcul tensoriel (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Coordonnées elliptiques

Systèmes de coordonnées · niveau 2

Énoncé

Soit $a > 0$ . On pose $x^{1} = a cosh u cos v$ , $x^{2} = a sinh u sin v$ , avec $u > 0$ et $v \in [0, 2 π [$ . Ces coordonnées servent à étudier l'écoulement autour d'une plaque plane ou d'un profil elliptique, et le champ d'un condensateur à bords.

Montrer que les lignes $u = cte$ sont des ellipses et les lignes $v = cte$ des hyperboles, toutes de foyers $(\pm a, 0)$ .
Calculer la base naturelle $(E_{u}, E_{v})$ . Montrer qu'elle est orthogonale et que $∥ E_{u} ∥^{2} = ∥ E_{v} ∥^{2} = a^{2} (sinh^{2} u + sin^{2} v)$ .
Calculer $det J$ . Que se passe-t-il quand $u \to 0$ ?

Corrigé

Pour $u$ fixé, $(\frac{x ^{1}}{a c o s h u})^{2} + (\frac{x ^{2}}{a s i n h u})^{2} = cos^{2} v + sin^{2} v = 1$ : ellipse de demi-axes $a cosh u$ et $a sinh u$ , de distance focale $a^{2} cosh^{2} u - a^{2} sinh^{2} u = a$ . Pour $v$ fixé, $(\frac{x ^{1}}{a c o s v})^{2} - (\frac{x ^{2}}{a s i n v})^{2} = 1$ : hyperbole de distance focale $a^{2} cos^{2} v + a^{2} sin^{2} v = a$ .
$E_{u} = (a sinh u cos v, a cosh u sin v)$ et $E_{v} = (- a cosh u sin v, a sinh u cos v)$ . Leur produit scalaire est $a^{2} (- sinh u cosh u cos v sin v + cosh u sinh u sin v cos v) = 0$ , et $∥ E_{u} ∥^{2} = a^{2} (sinh^{2} u cos^{2} v + cosh^{2} u sin^{2} v) = a^{2} (sinh^{2} u + sin^{2} v)$ en écrivant $cosh^{2} u = 1 + sinh^{2} u$ ; même calcul pour $E_{v}$ .
$det J = a^{2} (sinh^{2} u cos^{2} v + cosh^{2} u sin^{2} v) = a^{2} (sinh^{2} u + sin^{2} v)$ . Quand $u \to 0$ , l'ellipse s'aplatit sur le segment $[- a, a]$ — la plaque —, et $det J \to a^{2} sin^{2} v$ s'annule aux deux foyers ( $v = 0$ et $v = π$ ) : ce sont les bords de la plaque, où les champs sont singuliers.