Coordonnées paraboliques

Systèmes de coordonnées · niveau 2

Énoncé

On reprend les coordonnées de l'exemple 1.10 : $x^{1} = \frac{1}{2} (u^{2} - v^{2})$ , $x^{2} = uv$ .

En éliminant $v$ , montrer que la ligne $u = u_{0}$ est une parabole de foyer $O$ ; préciser son sommet.
Calculer $J^{- 1}$ et en déduire la base duale $(E^{u}, E^{v})$ en fonction de $(e^{1}, e^{2})$ .
Décomposer le vecteur $e_{1}$ sur la base $(E_{u}, E_{v})$ et vérifier le résultat.

Corrigé

$v = x^{2} / u_{0}$ , donc $x^{1} = \frac{u _{0}^{2}}{2} - \frac{( x ^{2} ) ^{2}}{2 u _{0}^{2}}$ , soit $(x^{2})^{2} = - 2 u_{0}^{2} (x^{1} - \frac{u _{0}^{2}}{2})$ : parabole de sommet $(u_{0}^{2} /2, 0)$ , tournée vers les $x^{1}$ négatifs, de paramètre $u_{0}^{2}$ ; sa distance focale est $u_{0}^{2} /2$ , donc son foyer est en $O$ .
$J^{- 1} = \frac{1}{u ^{2} + v ^{2}} (u - v v u)$ ; ses lignes donnent $E^{u} = \frac{u e ^{1} + v e ^{2}}{u ^{2} + v ^{2}}$ et $E^{v} = \frac{- v e ^{1} + u e ^{2}}{u ^{2} + v ^{2}}$ .
$U = J^{- 1} (1, 0) = \frac{( u , - v )}{u ^{2} + v ^{2}}$ , donc $e_{1} = \frac{u E _{u} - v E _{v}}{u ^{2} + v ^{2}}$ . Vérification : $u (u, v) - v (- v, u) = (u^{2} + v^{2}, 0)$ .

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