Coordonnées sphériques

• On dérive $M=(r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta )$ :

$$\begin{array}{rl}{E}_r& =(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta ),\\ E_{\theta }& =(r\cos \theta \cos \phi ,r\cos \theta \sin \phi ,-r\sin \theta ),\\ E_{\phi }& =(-r\sin \theta \sin \phi ,r\sin \theta \cos \phi ,0).\end{array}$$

Leurs normes valent $1$, $r$ et $r\sin \theta$ ; leurs produits scalaires deux à deux sont nuls : la base est orthogonale, mais pas normée.

• Pour une base orthogonale, $|\det J|$ est le produit des normes des colonnes : $\det J=r^2\sin \theta$. Il faut exclure l'origine et tout l'axe $x^3$ ($\theta =0$ ou $\pi$), où l'angle $\phi$ n'est pas défini.