Différentielle en coordonnées polaires

Systèmes de coordonnées · niveau 2

Énoncé

Soit $f (x^{1}, x^{2}) = x^{1} x^{2}$ .

Exprimer $f$ en polaires et calculer directement $\partial f / \partial r$ et $\partial f / \partial θ$ .
Retrouver ces valeurs par la loi de transformation covariante $\partial f / \partial y^{k} = (\partial x^{i} / \partial y^{k}) \partial f / \partial x^{i}$ .

Corrigé

$f = r^{2} cos θ sin θ = \frac{1}{2} r^{2} sin 2 θ$ , donc $\partial_{r} f = r sin 2 θ$ et $\partial_{θ} f = r^{2} cos 2 θ$ .
$\partial_{1} f = x^{2}$ et $\partial_{2} f = x^{1}$ . Alors $\partial_{r} f = cos θ x^{2} + sin θ x^{1} = 2 r sin θ cos θ = r sin 2 θ$ , et $\partial_{θ} f = - r sin θ x^{2} + r cos θ x^{1} = r^{2} (cos^{2} θ - sin^{2} θ) = r^{2} cos 2 θ$ .

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