Énergie cinétique et matrice de masse

• Écrivons $M_{ij}=M_{(ij)}+M_{[ij]}$ avec $M_{[ij]}=\frac{1}{2}(M_{ij}-M_{ji})$ antisymétrique. Le produit ${\dot{q}}^i{\dot{q}}^j$ est symétrique en $(i,j)$ ; en échangeant les indices muets, $M_{[ij]}{\dot{q}}^i{\dot{q}}^j=M_{[ji]}{\dot{q}}^j{\dot{q}}^i=-M_{[ij]}{\dot{q}}^i{\dot{q}}^j$, qui est donc nul. Il reste $T=\frac{1}{2}{M}_{(ij)}{\dot{q}}^i{\dot{q}}^j$.
• Comme $\partial {\dot{q}}^i/\partial {\dot{q}}^k={\delta }_k^i$,

$$p_k=\frac{1}{2}(M_{kj}{\dot{q}}^j+M_{ik}{\dot{q}}^i)=M_{kj}{\dot{q}}^j$$

par symétrie. Alors ${\dot{q}}^k{p}_k=M_{kj}{\dot{q}}^k{\dot{q}}^j=2T$ (identité d'Euler pour une fonction homogène de degré 2). L'indice de $p_k$ est en bas : une quantité de mouvement généralisée se comporte comme une forme linéaire, et ${\dot{q}}^k{p}_k$ est bien un nombre.

• Par la règle de dérivation composée, ${\dot{q}}^i=\frac{\partial q^i}{\partial Q^k}{\dot{Q}}^k$. En reportant, avec deux indices muets distincts $k$ et $l$ :

$$T=\frac{1}{2}{M}_{ij}\frac{\partial q^i}{\partial Q^k}{\dot{Q}}^k\frac{\partial q^j}{\partial Q^l}{\dot{Q}}^l=\frac{1}{2}{M}_{kl}^{\prime }{\dot{Q}}^k{\dot{Q}}^l.$$

Avec $J_k^i=\partial q^i/\partial Q^k$ (ligne $i$, colonne $k$), c'est $M^{\prime }=J^{\mathsf{T}}MJ$. Les deux indices de $M$ sont bas et se transforment chacun avec un facteur $\partial q/\partial Q$, comme les composantes d'une forme linéaire : la matrice de masse est un tenseur deux fois covariant (chapitre 2).

• Ici $M=m{I}_2$ et, pour $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$, $J=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right)$ (exemple 1.8). Donc $M^{\prime }=m{J}^{\mathsf{T}}J=\left(\begin{array}{cc}m& 0\\ 0& m{r}^2\end{array}\right)$ et $T=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\dot{\theta }}^2)$ : le terme $r^2$ vient de ce que la base naturelle $E_{\theta }$ a pour longueur $r$.
• Avec la jacobienne $J$ de l'exemple 1.3, $M^{\prime }=m{J}^{\mathsf{T}}J$ :

$$M^{\prime }=m\left(\begin{array}{cc}{\ell }_1^2+{\ell }_2^2+2{\ell }_1{\ell }_2\cos {\theta }_2& {\ell }_2^2+{\ell }_1{\ell }_2\cos {\theta }_2\\ {\ell }_2^2+{\ell }_1{\ell }_2\cos {\theta }_2& {\ell }_2^2\end{array}\right)$$

et $\det M^{\prime }=m^2(\det J{)}^2=m^2{\ell }_1^2{\ell }_2^2{\sin }^2{\theta }_2$. Le coefficient diagonal $M_{11}^{\prime }$ est $m$ fois le carré de la distance de la pince à l'épaule : c'est le moment d'inertie autour de l'épaule. Dans les configurations singulières (${\theta }_2=0$ ou $\pi$), $\det M^{\prime }=0$ : une combinaison de vitesses articulaires ne met pas la pince en mouvement et ne coûte aucune énergie. Pour cette combinaison, la commande du robot, qui doit inverser $M^{\prime }$, n'est plus définie.