calcul tensoriel (école d'ingénieur) · Chapitre 1 · Application directe du cours

Grammaire de la convention d'Einstein

Systèmes de coordonnées · niveau 2

Énoncé

Simplifier $δ_{j}^{i} δ_{k}^{j}$ , $δ_{i}^{i}$ , $δ_{j}^{i} a^{j} b_{i}$ .
Parmi les écritures suivantes, lesquelles sont correctes ?

$(a) a_{i} = T_{ij} b^{j} (b) a^{i} = T_{ij} b^{j} (c) T_{i}^{i} = T_{k}^{k} (d) a_{i} b^{i} c^{i} = d (e) c_{j}^{i} = a^{i} b_{j}$

Pour $n = 2$ , écrire explicitement les relations $y^{i} = A_{j}^{i} x^{j}$ .

Corrigé

$δ_{j}^{i} δ_{k}^{j} = δ_{k}^{i}$ ; $δ_{i}^{i} = δ_{1}^{1} + \dots + δ_{n}^{n} = n$ ; $δ_{j}^{i} a^{j} b_{i} = a^{i} b_{i}$ .
(a) correct ; (b) incorrect : l'indice libre $i$ est en haut à gauche et en bas à droite ; (c) correct : les indices muets peuvent être renommés ; (d) incorrect : $i$ apparaît trois fois ; (e) correct : c'est le produit tensoriel d'un vecteur et d'une forme (chapitre 2).
$y^{1} = A_{1}^{1} x^{1} + A_{2}^{1} x^{2}$ et $y^{2} = A_{1}^{2} x^{1} + A_{2}^{2} x^{2}$ .

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