Hélice en coordonnées cylindriques

Systèmes de coordonnées · niveau 2

Énoncé

Les coordonnées cylindriques $(r, θ, z)$ sont définies par $x^{1} = r cos θ$ , $x^{2} = r sin θ$ , $x^{3} = z$ .

Calculer $J$ , $det J$ et la base naturelle $(E_{r}, E_{θ}, E_{z})$ .
Un point décrit l'hélice $r = R$ , $θ = ω t$ , $z = h t$ (filetage d'une vis, trajectoire d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme). Donner ses composantes de vitesse $U$ en cylindriques, puis $u = J U$ en cartésiennes, et sa vitesse scalaire.
Pourquoi $(U^{1})^{2} + (U^{2})^{2} + (U^{3})^{2}$ n'est-il pas la vitesse scalaire ? Dans quel cas particulier le serait-il ?

Corrigé

$J = cos θ sin θ 0 - r sin θ r cos θ 0 001$ , $det J = r$ ; $E_{r} = (cos θ, sin θ, 0)$ , $E_{θ} = (- r sin θ, r cos θ, 0)$ , $E_{z} = e_{3}$ .
$U = (r ˙, θ ˙, z ˙) = (0, ω, h)$ , puis

$u = J U = (- R ω sin ω t, R ω cos ω t, h), ∥ u ∥ = R^{2} ω^{2} + h^{2} .$

$0 + ω^{2} + h^{2}$ n'a même pas la dimension d'une vitesse ( $ω$ est en rad/s) : les composantes de $U$ se rapportent à une base qui n'est pas orthonormée ( $∥ E_{θ} ∥ = R$ ). La formule serait juste pour $R = 1$ (dans l'unité choisie), seul cas où la base naturelle est orthonormée sur l'hélice.

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