Oscillateur amorti

Un oscillateur de masse $m$, de raideur $k=m{\omega }_0^2$, soumis à un frottement visqueux, obéit à $\ddot{x}+2\lambda \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$ ($\lambda >0$). Son espace des états est le plan $(x,v)$.

• Écrire le vecteur vitesse de l'état $V$ au point $(x,v)$.
• Calculer $\mathrm{d}\mathcal{E}(V)$ pour $\mathcal{E}=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}k{x}^2$. Conclure sur l'évolution de l'énergie.
• En quels points la trajectoire est-elle tangente à une ligne de niveau de l'énergie ? Les repérer sur la figure 1.10.