Réseau hexagonal et réseau réciproque — exercice corrigé de calcul tensoriel (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Réseau hexagonal et réseau réciproque

Systèmes de coordonnées · niveau 2

Énoncé

On reprend la base $E_{1} = e_{1}$ , $E_{2} = - \frac{1}{2} e_{1} + \frac{3}{2} e_{2}$ de l'exemple 1.5.

Donner les composantes du vecteur $u = 3 e_{1} + 3 e_{2}$ dans la base $(E_{1}, E_{2})$ .
Déterminer la base duale $(E^{1}, E^{2})$ en fonction de $(e^{1}, e^{2})$ et vérifier que $E^{k} (E_{l}) = δ_{l}^{k}$ .
En cristallographie, les vecteurs du réseau réciproque $b_{1}, b_{2}$ sont définis par $⟨ b_{k}, E_{l} ⟩ = 2 π δ_{k l}$ . Montrer que $b_{k}$ a pour composantes cartésiennes $2 π$ fois celles de la forme $E^{k}$ , puis calculer $∥ b_{1} ∥$ , $∥ b_{2} ∥$ et l'angle $(b_{1}, b_{2})$ . (Les taches d'un cliché de diffraction dessinent ce réseau réciproque : c'est la base duale que l'on photographie.)

Corrigé

$U = A^{- 1} u = (3 + \frac{3}{3}, \frac{2}{3} 3) = (4, 2)$ : $u = 4 E_{1} + 2 E_{2}$ (vérification : $4 e_{1} - e_{1} + 3 e_{2}$ ).
Les lignes de $A^{- 1}$ donnent $E^{1} = e^{1} + \frac{1}{3} e^{2}$ et $E^{2} = \frac{2}{3} e^{2}$ . Par exemple $E^{1} (E_{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = 0$ et $E^{2} (E_{2}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$ .
Si $b_{k}$ a pour composantes cartésiennes $2 π (E^{k})_{i}$ , alors

$⟨ b_{k}, E_{l} ⟩ = 2 π (E^{k})_{i} (E_{l})^{i} = 2 π E^{k} (E_{l}) = 2 π δ_{k l} :$

c'est bien le réseau réciproque. Donc $b_{1} = 2 π (1, \frac{1}{3})$ et $b_{2} = 2 π (0, \frac{2}{3})$ , de même norme $\frac{4 π}{3}$ (en unités de $1/ a$ ), et $cos (b_{1}, b_{2}) = \frac{2/3}{4/3} = \frac{1}{2}$ : l'angle vaut $6 0^{\circ}$ . Le réseau réciproque d'un réseau hexagonal est hexagonal, tourné de $3 0^{\circ}$ .