Un changement de coordonnées linéaire

Systèmes de coordonnées · niveau 2

Énoncé

Dans le plan, on pose $x^{1} = y^{1} + y^{2}$ , $x^{2} = y^{2}$ .

Calculer $J$ , $J^{- 1}$ et les vecteurs $E_{1}$ , $E_{2}$ de la nouvelle base.
Calculer les nouvelles composantes $U^{k}$ du vecteur $u = 2 e_{1} + 3 e_{2}$ et vérifier que $U^{k} E_{k} = u$ .
Déterminer la base duale $(E^{1}, E^{2})$ et vérifier que $E^{k} (E_{l}) = δ_{l}^{k}$ .
Calculer les nouvelles composantes de la forme $λ = e^{1} + 2 e^{2}$ , puis vérifier que $λ (u)$ est le même dans les deux systèmes.

Corrigé

$J = (1011)$ , $J^{- 1} = (10 - 1 1)$ ; les colonnes de $J$ donnent $E_{1} = e_{1}$ et $E_{2} = e_{1} + e_{2}$ .
$U = J^{- 1} u = (2 - 3, 3) = (- 1, 3)$ , et $- E_{1} + 3 E_{2} = - e_{1} + 3 e_{1} + 3 e_{2} = 2 e_{1} + 3 e_{2}$ .
Les lignes de $J^{- 1}$ donnent $E^{1} = e^{1} - e^{2}$ et $E^{2} = e^{2}$ . On vérifie $E^{1} (E_{1}) = 1$ , $E^{1} (E_{2}) = (e^{1} - e^{2}) (e_{1} + e_{2}) = 0$ , $E^{2} (E_{1}) = 0$ , $E^{2} (E_{2}) = 1$ .
$Λ_{1} = \frac{\partial x ^{i}}{\partial y ^{1}} λ_{i} = λ_{1} = 1$ et $Λ_{2} = \frac{\partial x ^{i}}{\partial y ^{2}} λ_{i} = λ_{1} + λ_{2} = 3$ . Alors $λ_{i} u^{i} = 2 + 6 = 8$ et $Λ_{k} U^{k} = - 1 + 9 = 8$ .

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