Un drone dans un champ de température — exercice corrigé de calcul tensoriel (école d'ingénieur) (chapitre 1)

Un drone dans un champ de température

Systèmes de coordonnées · niveau 2

Énoncé

La température autour d'une source chaude vaut $T = T_{0} exp (- ((x^{1})^{2} + (x^{2})^{2}) / L^{2})$ .

Exprimer $T$ en polaires, puis les composantes de $d T$ dans la base $(d r, d θ)$ .
Un drone de mesure a pour vitesse $U = (r ˙, θ ˙)$ en polaires. Exprimer la dérivée $\frac{d}{d t} T$ de la température qu'il mesure. Que vaut-elle sur un cercle centré en $O$ ? En $r = L$ , pour un vol radial à la vitesse $c$ ?
Retrouver le dernier résultat en coordonnées cartésiennes, en calculant $u = J U$ et $\partial_{i} T u^{i}$ .

$T = T_{0} e^{- r^{2} / L^{2}}$ ; $\partial_{r} T = - \frac{2 r}{L ^{2}} T$ et $\partial_{θ} T = 0$ , donc $d T = - \frac{2 r}{L ^{2}} T d r$ .
$\frac{d}{d t} T = d T (U) = \partial_{r} T r ˙ + \partial_{θ} T θ ˙ = - \frac{2 r r ˙}{L ^{2}} T$ . Sur un cercle ( $r ˙ = 0$ ), elle est nulle : les cercles sont les lignes de niveau de $T$ . Pour un vol radial en $r = L$ à la vitesse $c$ : $\frac{d T}{d t} = - \frac{2 c}{L} T_{0} e^{- 1}$ .
$u = J U = c (cos θ, sin θ)$ et $\partial_{i} T = - \frac{2 x ^{i}}{L ^{2}} T$ , donc $\partial_{i} T u^{i} = - \frac{2 c}{L ^{2}} T (x^{1} cos θ + x^{2} sin θ) = - \frac{2 cr}{L ^{2}} T$ , qui vaut bien $- \frac{2 c}{L} T_{0} e^{- 1}$ en $r = L$ .