calcul tensoriel (école d'ingénieur) · Chapitre 3 · Application directe du cours

Champ coulombien

Dérivée covariante · niveau 2

Énoncé

En coordonnées sphériques, on considère le champ radial de composante physique $u^^{r} = 1/ r^{2}$ (les autres étant nulles), et la fonction $f = 1/ r$ .

Calculer $div u$ pour $r > 0$ .
Calculer $Δ f$ pour $r > 0$ . Quel lien y a-t-il entre $u$ et $f$ ?

Corrigé

$h_{r} = 1$ donc $u^{r} = 1/ r^{2}$ ; avec $g = r^{2} sin θ$ , $div u = \frac{1}{r ^{2} s i n θ} \partial_{r} (r^{2} sin θ \cdot \frac{1}{r ^{2}}) = 0$ . Le flux d'un champ coulombien se conserve (théorème de Gauss) : toute la « source » est concentrée à l'origine.
$\partial_{r} f = - 1/ r^{2}$ , donc $Δ f = \frac{1}{r ^{2}} \partial_{r} (r^{2} \cdot (- \frac{1}{r ^{2}})) = 0$ . On a $u = - grad f$ : $f$ est le potentiel (à une constante près) du champ $u$ , et $Δ f = - div u = 0$ .

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