Coordonnées cylindriques paraboliques

• $E_u=(u,v,0)$, $E_v=(-v,u,0)$, $E_z=(0,0,1)$ : ils sont orthogonaux, et

$$[g_{ij}]=\left(\begin{array}{ccc}{u}^2+v^2& 0& 0\\ 0& u^2+v^2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),h_u=h_v=h=\sqrt{u^2+v^2},h_z=1,\sqrt{g}=h^2.$$

• Par les formules des coordonnées orthogonales, avec ${\partial }_u\ln h=u/h^2$ et ${\partial }_v\ln h=v/h^2$, les symboles non nuls sont

$${\Gamma }_{uu}^u={\Gamma }_{uv}^v={\Gamma }_{vu}^v=\frac{u}{h^2},{\Gamma }_{vv}^v={\Gamma }_{uv}^u={\Gamma }_{vu}^u=\frac{v}{h^2},{\Gamma }_{vv}^u=-\frac{u}{h^2},{\Gamma }_{uu}^v=-\frac{v}{h^2}.$$

Tous ceux qui contiennent l'indice $z$ sont nuls : la cote $z$ se comporte comme en cartésiennes.

• ${\nabla }_j{V}^i={\partial }_j{V}^i+{\Gamma }_{jk}^i{V}^k$ donne

$$\begin{array}{rlrlrl}{\nabla }_u{V}^u& ={\partial }_u{V}^u+\frac{u{V}^u+v{V}^v}{h^2},& {\nabla }_v{V}^u& ={\partial }_v{V}^u+\frac{v{V}^u-u{V}^v}{h^2},& {\nabla }_z{V}^u& ={\partial }_z{V}^u,\\ {\nabla }_u{V}^v& ={\partial }_u{V}^v+\frac{u{V}^v-v{V}^u}{h^2},& {\nabla }_v{V}^v& ={\partial }_v{V}^v+\frac{u{V}^u+v{V}^v}{h^2},& {\nabla }_z{V}^v& ={\partial }_z{V}^v,\\ {\nabla }_u{V}^z& ={\partial }_u{V}^z,& {\nabla }_v{V}^z& ={\partial }_v{V}^z,& {\nabla }_z{V}^z& ={\partial }_z{V}^z.\end{array}$$

• En sommant la diagonale,

$$\mathrm{div}V={\partial }_u{V}^u+{\partial }_v{V}^v+{\partial }_z{V}^z+\frac{2(u{V}^u+v{V}^v)}{h^2}=\frac{1}{h^2}\left[{\partial }_u\right(h^2{V}^u)+{\partial }_v(h^2{V}^v\left)\right]+{\partial }_z{V}^z,$$

conformément à $\mathrm{div}V=\frac{1}{\sqrt{g}}{\partial }_i(\sqrt{g}{V}^i)$ avec $\sqrt{g}=h^2$. Ce n'est pas, telle quelle, l'expression des formulaires : les $V^u$, $V^v$ sont les composantes dans la base naturelle, dont les vecteurs $E_u$, $E_v$ ont pour norme $h$, alors que les formulaires utilisent les composantes physiques dans la base normée, ${\hat{V}}^u=h{V}^u$, ${\hat{V}}^v=h{V}^v$, ${\hat{V}}^z=V^z$. En remplaçant $V^u={\hat{V}}^u/h$ et $V^v={\hat{V}}^v/h$, on obtient exactement $\frac{1}{h^2}[{\partial }_u(h{\hat{V}}^u)+{\partial }_v(h{\hat{V}}^v)]+{\partial }_z{\hat{V}}^z$. Même explication qu'en cylindriques (exercice 3.1) : la formule est la même, seule la base dans laquelle on lit les composantes change.