Coordonnées cylindriques

Dérivée covariante · niveau 2

Énoncé

En coordonnées cylindriques $(r, θ, z)$ , où $d s^{2} = d r^{2} + r^{2} d θ^{2} + d z^{2}$ :

Calculer les symboles de Christoffel non nuls.
En déduire l'expression du laplacien, et vérifier que $f = ln r$ est harmonique ( $Δ f = 0$ ) pour $r > 0$ .

Corrigé

$h_{r} = 1$ , $h_{θ} = r$ , $h_{z} = 1$ ; seul $h_{θ}$ varie, et seulement avec $r$ . Les symboles non nuls sont les mêmes qu'en polaires : $Γ_{θ θ}^{r} = - r$ et $Γ_{r θ}^{θ} = Γ_{θ r}^{θ} = 1/ r$ .
$g = r$ et $g^{ij} = diag (1, 1/ r^{2}, 1)$ , donc $Δ f = \frac{1}{r} \partial_{r} (r \partial_{r} f) + \frac{1}{r ^{2}} \partial_{θ}^{2} f + \partial_{z}^{2} f$ . Pour $f = ln r$ : $r \partial_{r} f = 1$ , dont la dérivée est nulle ; $Δ f = 0$ .

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