Écoulement autour d'une pile de pont — exercice corrigé de calcul tensoriel (école d'ingénieur) (chapitre 3)

Écoulement autour d'une pile de pont

Dérivée covariante · niveau 2

Énoncé

Un fluide parfait incompressible arrive à la vitesse $U$ sur une pile de pont cylindrique de rayon $a$ . En polaires, les composantes physiques de sa vitesse sont

$u^^{r} = U (1 - \frac{a ^{2}}{r ^{2}}) cos θ, u^^{θ} = - U (1 + \frac{a ^{2}}{r ^{2}}) sin θ (r \geq a) .$

Vérifier que $div u = 0$ et $rot u = 0$ .
Vérifier que le fluide glisse le long de la pile ( $u^^{r} = 0$ en $r = a$ ) et qu'il retrouve loin de la pile un écoulement uniforme de vitesse $U$ .
Où la vitesse est-elle nulle ? Où est-elle maximale sur la pile, et que vaut-elle ?

Corrigé

$div u = \frac{1}{r} \partial_{r} (r u^^{r}) + \frac{1}{r} \partial_{θ} u^^{θ} = \frac{U}{r} (1 + \frac{a ^{2}}{r ^{2}}) cos θ - \frac{U}{r} (1 + \frac{a ^{2}}{r ^{2}}) cos θ = 0$ ; et avec $u_{θ} = r u^^{θ}$ , $(rot u)^{z} = \frac{1}{r} (\partial_{r} (r u^^{θ}) - \partial_{θ} u^^{r}) = \frac{1}{r} (- U (1 - \frac{a ^{2}}{r ^{2}}) sin θ + U (1 - \frac{a ^{2}}{r ^{2}}) sin θ) = 0$ .
En $r = a$ , $u^^{r} = 0$ . Quand $r \to \infty$ , $u^^{r} \to U cos θ$ et $u^^{θ} \to - U sin θ$ : ce sont les composantes polaires du vecteur constant $U e_{1}$ .
La vitesse s'annule en $r = a$ , $θ = 0$ et $θ = π$ (points d'arrêt, à l'avant et à l'arrière de la pile). Sur la pile, $∥ u ∥ = ∣ u^^{θ} ∣ = 2 U ∣ sin θ ∣$ , maximale et égale à $2 U$ sur les flancs ( $θ = \pm π /2$ ) : c'est là que l'affouillement du lit de la rivière est le plus fort.