Effet de pointe au bord d'une plaque — exercice corrigé de calcul tensoriel (école d'ingénieur) (chapitre 3)

Effet de pointe au bord d'une plaque

Dérivée covariante · niveau 2

Énoncé

En coordonnées paraboliques du plan (exemple 1.10), $g_{uu} = g_{v v} = u^{2} + v^{2}$ et $g_{uv} = 0$ .

Montrer que $Δ f = \frac{\partial _{u}^{2} f + \partial _{v}^{2} f}{u ^{2} + v ^{2}}$ .
En déduire que $f = u$ est harmonique. Exprimer $u$ en fonction de $x^{1}$ et $x^{2}$ (on remarquera que $u^{2} = x^{1} + r$ , où $r$ est la distance à l'origine).
La fonction $f = u$ est le potentiel électrique autour d'une plaque conductrice semi-infinie, placée sur la demi-droite exclue où $u = 0$ . Calculer $grad f$ en fonction de $r$ et conclure sur ce qui se passe près du bord de la plaque.

$g = u^{2} + v^{2}$ et $g^{uu} = g^{v v} = \frac{1}{u ^{2} + v ^{2}}$ , donc $g g^{uu} = g g^{v v} = 1$ , et $Δ f = \frac{1}{u ^{2} + v ^{2}} (\partial_{u}^{2} f + \partial_{v}^{2} f)$ .
$\partial_{u}^{2} u = \partial_{v}^{2} u = 0$ : $f = u$ est harmonique. Comme $r = (x^{1})^{2} + (x^{2})^{2} = \frac{u ^{2} + v ^{2}}{2}$ et $x^{1} = \frac{u ^{2} - v ^{2}}{2}$ , on a $u^{2} = x^{1} + r$ , soit $u = x^{1} + (x^{1})^{2} + (x^{2})^{2}$ .
$grad f^{2} = g^{uu} (\partial_{u} f)^{2} = \frac{1}{u ^{2} + v ^{2}} = \frac{1}{2 r}$ , donc $grad f = \frac{1}{2 r}$ : le champ électrique devient infini au bord de la plaque. C'est l'effet de pointe, qui fait fonctionner les paratonnerres ; la même singularité en $1/ r$ décrit les contraintes à la pointe d'une fissure en mécanique de la rupture.