calcul tensoriel (école d'ingénieur) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Éjection de la bille

Dérivée covariante · niveau 2

Énoncé

On reprend l'exemple 3.18 avec $r_{0} = 10$ cm, un tube de longueur $L = 1$ m mesurée depuis l'axe, $ω = 2$ rad/s et $m = 50$ g.

Vérifier que $r = r_{0} cosh (ω t)$ satisfait l'équation du mouvement et les conditions initiales.
À quel instant la bille sort-elle du tube ? Avec quelle vitesse (composantes physiques radiale et orthoradiale) ?
Calculer la force exercée par la paroi à cet instant.

Corrigé

$r ¨ = r_{0} ω^{2} cosh (ω t) = ω^{2} r$ ; $r (0) = r_{0}$ et $r ˙ (0) = r_{0} ω sinh 0 = 0$ .
$cosh (ω T) = L / r_{0} = 10$ , soit $T = \frac{argch 10}{2} \approx 1, 50$ s. Alors $r ˙ = r_{0} ω sinh (ω T) = 0, 299 \approx 1, 99$ m/s et $r ω = 2$ m/s : la bille sort à environ $2, 8$ m/s, à peu près à $4 5^{\circ}$ du tube.
$N = 2 mω r ˙ \approx 2 \cdot 0, 05 \cdot 2 \cdot 1, 99 \approx 0, 40$ N.

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