Géodésiques du cône — exercice corrigé de calcul tensoriel (école d'ingénieur) (chapitre 3)

Géodésiques du cône

Dérivée covariante · niveau 2

Énoncé

Sur un cône de demi-angle au sommet $α$ , on repère un point par sa distance $ρ$ au sommet, mesurée le long d'une génératrice, et par l'angle $φ$ autour de l'axe : $d s^{2} = d ρ^{2} + ρ^{2} sin^{2} α d φ^{2}$ .

Calculer les symboles de Christoffel et écrire les équations des géodésiques.
Montrer qu'avec $ψ = φ sin α$ , la métrique devient celle du plan en coordonnées polaires $(ρ, ψ)$ . En déduire que le cône se déroule sur un secteur plan d'angle $2 π sin α$ , et que ses géodésiques sont les images de segments de droite.
Sur une trémie conique d'angle $α = 2 0^{\circ}$ , on tend un câble qui part d'un point $P$ situé à $ρ = 10$ m du sommet, fait le tour du cône et revient en $P$ . Quelle est la longueur minimale du câble ? La comparer à la longueur du cercle horizontal passant par $P$ .

Corrigé

$Γ_{φφ}^{ρ} = - ρ sin^{2} α$ et $Γ_{ρφ}^{φ} = Γ_{φρ}^{φ} = 1/ ρ$ , d'où $ρ ¨ - ρ sin^{2} α φ ˙^{2} = 0$ et $φ ¨ + \frac{2}{ρ} ρ ˙ φ ˙ = 0$ .
$d ψ = sin α d φ$ , donc $d s^{2} = d ρ^{2} + ρ^{2} d ψ^{2}$ : c'est la métrique du plan en polaires. Quand $φ$ parcourt $[0, 2 π [$ , $ψ$ parcourt $[0, 2 π sin α [$ : le cône déroulé est un secteur de cet angle, et ses géodésiques, qui ne dépendent que de la métrique, sont les segments de droite de ce secteur.
Le secteur a pour angle $2 π sin 2 0^{\circ} \approx 12 3^{\circ}$ . Le point $P$ et son image après un tour sont à $10$ m du sommet et séparés de cet angle ; le câble tendu est le segment qui les joint, de longueur $2 \cdot 10 \cdot sin (61, 6^{\circ}) \approx 17, 6$ m, alors que le cercle horizontal mesure $2 π \cdot 10 sin 2 0^{\circ} \approx 21, 5$ m. Le câble tendu ne reste pas horizontal : il remonte vers le sommet, puis redescend jusqu'à $P$ .