Le plan n'est pas courbe

D'après (3.15) avec $k=r$, $l=\theta$, $i=r$, $j=\theta$ : $R_{\theta r\theta }^r={\partial }_r{\Gamma }_{\theta \theta }^r-{\partial }_{\theta }{\Gamma }_{r\theta }^r+{\Gamma }_{rm}^r{\Gamma }_{\theta \theta }^m-{\Gamma }_{\theta m}^r{\Gamma }_{r\theta }^m$. On a ${\partial }_r(-r)=-1$, ${\Gamma }_{r\theta }^r=0$, ${\Gamma }_{rm}^r=0$ pour tout $m$, et le dernier produit n'est non nul que pour $m=\theta$ : ${\Gamma }_{\theta \theta }^r{\Gamma }_{r\theta }^{\theta }=-r\cdot \frac{1}{r}=-1$. D'où $R_{\theta r\theta }^r=-1-0+0-(-1)=0$.