calcul tensoriel (école d'ingénieur) · Chapitre 3 · Application directe du cours

Lemme de Ricci en polaires

Dérivée covariante · niveau 2

Énoncé

Vérifier directement que $\nabla_{r} g_{θ θ} = 0$ et $\nabla_{θ} g_{r θ} = 0$ en coordonnées polaires.

Corrigé

$\nabla_{r} g_{θ θ} = \partial_{r} g_{θ θ} - 2 Γ_{r θ}^{l} g_{l θ} = 2 r - 2 \cdot \frac{1}{r} \cdot r^{2} = 0$ . $\nabla_{θ} g_{r θ} = \partial_{θ} g_{r θ} - Γ_{θ r}^{l} g_{l θ} - Γ_{θ θ}^{l} g_{r l} = 0 - \frac{1}{r} \cdot r^{2} - (- r) \cdot 1 = 0$ .

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