Pendule de Foucault et transport parallèle — exercice corrigé de calcul tensoriel (école d'ingénieur) (chapitre 3)

Pendule de Foucault et transport parallèle

Dérivée covariante · niveau 2

Énoncé

Sur la sphère de rayon $1$ , on transporte parallèlement un vecteur $U$ le long du parallèle de colatitude $θ_{0}$ , parcouru par $φ = s$ , $s \in [0, 2 π]$ .

Écrire les équations $D U^{i} / d s = 0$ . En posant $A = U^{θ}$ et $B = sin θ_{0} U^{φ}$ (composantes physiques), montrer que $A^{'} = cos θ_{0} B$ et $B^{'} = - cos θ_{0} A$ .
En déduire qu'après un tour, le vecteur a tourné de l'angle $2 π cos θ_{0}$ par rapport à la base locale $(e^_{θ}, e^_{φ})$ .
La rotation de la Terre fait parcourir au point de suspension d'un pendule de Foucault un parallèle en un jour, et le plan d'oscillation du pendule est transporté parallèlement. À Paris (latitude $48, 8 5^{\circ}$ ), de quel angle ce plan tourne-t-il par rapport au sol en un jour ? En combien de temps fait-il un tour complet ?

Corrigé

Le long de la courbe, $x ˙ = (0, 1)$ , et avec $Γ_{φφ}^{θ} = - sin θ cos θ$ , $Γ_{φθ}^{φ} = \frac{c o s θ}{s i n θ}$ :

$U^{θ'} - sin θ_{0} cos θ_{0} U^{φ} = 0, U^{φ'} + \frac{cos θ _{0}}{sin θ _{0}} U^{θ} = 0.$

Donc $A^{'} = cos θ_{0} (sin θ_{0} U^{φ}) = cos θ_{0} B$ et $B^{'} = sin θ_{0} U^{φ'} = - cos θ_{0} A$ .

Avec $c = cos θ_{0}$ , $A = A_{0} cos (cs) + B_{0} sin (cs)$ et $B = B_{0} cos (cs) - A_{0} sin (cs)$ : le vecteur tourne uniformément, d'un angle $cs$ , par rapport à la base locale normée, soit $2 π cos θ_{0}$ après un tour.
$θ_{0} = 9 0^{\circ} - 48, 8 5^{\circ}$ , donc $cos θ_{0} = sin 48, 8 5^{\circ} \approx 0, 753$ : le plan tourne de $36 0^{\circ} \times 0, 753 \approx 27 1^{\circ}$ par jour par rapport au sol (dans le sens horaire, vu d'en haut, dans l'hémisphère nord), et fait un tour complet en $24/0, 753 \approx 32$ h. À l'équateur, il ne tourne pas ; aux pôles, il fait un tour par jour.