Réservoir sphérique sous pression — exercice corrigé de calcul tensoriel (école d'ingénieur) (chapitre 3)

Réservoir sphérique sous pression

Dérivée covariante · niveau 2

Énoncé

Une sphère creuse de rayons $a < b$ est soumise à une pression intérieure $p$ . Par symétrie, en sphériques, les seules composantes physiques non nulles du tenseur des contraintes sont $σ^_{r r} (r)$ et $σ^_{θ θ} (r) = σ^_{φφ} (r)$ .

À l'aide des symboles de Christoffel des coordonnées sphériques (exemple 3.5), montrer que la composante radiale de $\nabla_{j} σ^{ij} = 0$ s'écrit $\frac{d σ ^ _{r r}}{d r} + \frac{2}{r} (σ^_{r r} - σ^_{θ θ}) = 0$ .
Vérifier que $σ^_{r r} = A - \frac{B}{r ^{3}}$ , $σ^_{θ θ} = A + \frac{B}{2 r ^{3}}$ est solution, puis déterminer $A$ et $B$ à l'aide des conditions $σ^_{r r} (a) = - p$ et $σ^_{r r} (b) = 0$ .
Application : $a = 1$ m, $b = 1, 02$ m, $p = 2$ MPa. Calculer $σ^_{θ θ}$ en $r = a$ et en $r = b$ , et comparer à la formule des réservoirs minces $\frac{p a}{2 e}$ , où $e = b - a$ .

Corrigé

Avec $Γ_{θ θ}^{r} = - r$ , $Γ_{φφ}^{r} = - r sin^{2} θ$ et $Γ_{θ r}^{θ} = Γ_{φ r}^{φ} = 1/ r$ ,

$\nabla_{j} σ^{r j} = \partial_{r} σ^{r r} - r σ^{θ θ} - r sin^{2} θ σ^{φφ} + \frac{2}{r} σ^{r r} = 0.$

Avec $σ^_{r r} = σ^{r r}$ , $σ^_{θ θ} = r^{2} σ^{θ θ}$ et $σ^_{φφ} = r^{2} sin^{2} θ σ^{φφ}$ , cela s'écrit $σ^_{r r}^{'} + \frac{1}{r} (2 σ^_{r r} - σ^_{θ θ} - σ^_{φφ}) = 0$ , c'est-à-dire l'équation annoncée puisque $σ^_{φφ} = σ^_{θ θ}$ .

$σ^_{r r}^{'} = \frac{3 B}{r ^{4}}$ et $\frac{2}{r} (σ^_{r r} - σ^_{θ θ}) = \frac{2}{r} (- \frac{3 B}{2 r ^{3}}) = - \frac{3 B}{r ^{4}}$ : la somme est nulle. Les conditions aux limites donnent $A = \frac{p a ^{3}}{b ^{3} - a ^{3}}$ et $B = \frac{p a ^{3} b ^{3}}{b ^{3} - a ^{3}}$ .
$σ^_{θ θ} (a) \approx 50, 0$ MPa et $σ^_{θ θ} (b) \approx 49, 0$ MPa, contre $\frac{p a}{2 e} = 50$ MPa : pour une paroi mince ( $e / a = 2 %$ ), la contrainte est presque uniforme dans l'épaisseur et la formule simple est excellente.