Cubique simple et cubique centré : tout ce qu'une structure fournie permet de calculer

La stratégie. Quatre gestes : (i) compter les atomes en propre ; (ii) trouver la direction de contact (la plus courte distance entre deux centres) et l'égaler à $2r$ ; (iii) lire la coordinence ; (iv) en déduire compacité et masse volumique par les définitions du cours, $C=\frac{N\cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{a^3}$ et $\rho =\frac{NM}{N_A{a}^3}$. Le point délicat est (ii) : la direction de contact n'est pas toujours l'arête.

1) Cubique simple. Huit sommets comptant chacun $\frac{1}{8}$ : $N=1$. Les plus proches voisins sont les six atomes situés à une arête de distance : le contact se fait le long de l'arête, $a=2r$, et la coordinence vaut $6$. Compacité :

$$C_{\text{CS}}=\frac{1\times \frac{4}{3}\pi r^3}{(2r{)}^3}=\frac{\pi }{6}\approx 0,524.$$

Cubique centré. $N=8\times \frac{1}{8}+1=2$. L'atome central est à la distance $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ de chacun des huit sommets (demi-grande diagonale), qui est inférieure à $a$ : le contact se fait donc le long de la grande diagonale du cube, qui contient un rayon de l'atome de sommet, le diamètre de l'atome central et un rayon de l'atome du sommet opposé :

$$a\sqrt{3}=4r.$$

Les atomes de deux sommets voisins, à la distance $a=\frac{4r}{\sqrt{3}}\approx 2,31r>2r$, ne se touchent pas : c'est l'erreur classique que de les faire tangents le long de l'arête. L'atome central a huit plus proches voisins (les sommets) ; tout atome de sommet étant le centre d'un cube voisin, la coordinence est $8$ pour tous. Compacité :

$$C_{\text{CC}}=\frac{2\times \frac{4}{3}\pi r^3}{a^3}=\frac{\frac{8}{3}\pi r^3}{{\left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)}^3}=\frac{\pi \sqrt{3}}{8}\approx 0,680.$$

2) Les seconds voisins de la CC. Après les huit atomes à $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, les plus proches sont les centres des six cubes voisins (pour l'atome central), soit les six atomes situés à une arête de distance : $6$ seconds voisins, à la distance $a$. Le rapport des distances vaut

$$\frac{a}{a\sqrt{3}/2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1,155:$$

les seconds voisins ne sont que $15\%$ plus loin que les premiers. Pour une liaison métallique, non directionnelle, ils participent presque autant à la cohésion que les huit premiers : la coordinence « effective » de la CC est entre $8$ et $14$. En CFC, les seconds voisins sont $41\%$ plus loin : la coordinence $12$ y est franche.

3) Le polonium. Le cube d'arête $a=335,2\times 10^{-10}\mathrm{cm}$ a pour volume $a^3=3,766\times 10^{-23}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$, et

$$\begin{array}{rl}\rho & =\frac{NM}{N_A{a}^3}\\ & =\frac{1\times 209}{6,022\times 10^{23}\times 3,766\times 10^{-23}}\approx 9,21\mathrm{g}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3},\end{array}$$

à $0,2\%$ de la valeur mesurée $9,20\mathrm{g}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$. Rayon métallique : $r=a/2=167,6\mathrm{pm}$.

4) Le sodium. $a^3=(429,1\times 10^{-10}{)}^3=7,901\times 10^{-23}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$ ;

$$\rho =\frac{2\times 22,99}{6,022\times 10^{23}\times 7,901\times 10^{-23}}\approx 0,966\mathrm{g}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3},$$

contre $0,968$ mesuré : écart de $0,2\%$. Rayon : $r=\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{429,1\times 1,732}{4}\approx 185,8\mathrm{pm}$, en accord avec les $186\mathrm{pm}$ tabulés. Le sodium, aux atomes gros et légers rangés dans une structure non compacte, flotterait sur l'eau. Le modèle des sphères dures rend compte de ces mesures au pour mille près : la masse volumique est une observable que le cristal parfait prédit très bien.

5) Classement. $C_{\text{CS}}=0,52<C_{\text{CC}}=0,68<C_{\text{CFC}}=0,74$. La liaison métallique n'étant pas directionnelle, la cohésion croît avec le nombre de voisins proches : les métaux adoptent des structures compactes (CFC, hexagonale compacte) ou presque (CC). La CS, $48\%$ de vide et six voisins, est défavorable ; le polonium, dont la liaison a un caractère directionnel marqué (admis), est l'exception.

Ce que l'exercice installe. La méthode en quatre gestes pour toute structure fournie, dont seul le choix de la direction de contact demande réflexion ; et le premier aller-retour modèle-mesure, au pour mille près.