Empilements compacts ABAB et ABCABC : la CFC est un empilement compact

La stratégie. On construit l'espace plan par plan (triangle équilatéral et tétraèdre régulier d'arête $2r$), puis on reconnaît ces plans dans la CFC : cela démontre qu'elle est compacte et fournit ses sites sans les chercher un à un.

1) Les cavités entre deux plans. Le plan A a deux creux par atome (exercice 1), « creux b » et « creux c ». Deux creux adjacents ne sont distants que de $\frac{2r}{\sqrt{3}}\approx 1,15r<2r$ : les sphères de B ne peuvent en occuper que la moitié, disons les creux b.

Sites tétraédriques. Chaque sphère de B, posée dans un creux b, ferme une cavité délimitée par trois sphères de A et une de B (un tétraèdre régulier de centres) : une par atome de B. Symétriquement, chaque sphère de A est sous un creux de B, d'où une cavité formée d'une sphère de A et trois de B : une par atome de A. A et B ayant autant d'atomes, on compte $2$ sites tétraédriques par atome, entre deux plans successifs.

Sites octaédriques. Au-dessus de chaque creux c de A se trouve un creux de B ; la cavité est délimitée par trois sphères de A et trois sphères de B formant un triangle tourné de $60{}^{\circ }$ : un octaèdre. Il y en a autant que de creux c : $1$ site octaédrique par atome.

Chaque plan n'étant suivi que d'un intervalle, un empilement de $n$ atomes compte $2n$ sites tétraédriques et $n$ octaédriques, quel que soit l'ordre d'empilement.

2) La distance entre plans. Les centres de trois sphères tangentes de A et de la sphère de B posée sur elles forment un tétraèdre régulier d'arête $2r$. Le pied G de sa hauteur $h$ est le centre de gravité du triangle de base, à $\frac{2}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times 2r=\frac{2r}{\sqrt{3}}$ de chaque sommet ; par Pythagore : $$h^2=(2r{)}^2-\frac{4r^2}{3}=\frac{8r^2}{3},h=2r\sqrt{\frac{2}{3}}\approx 1,633r.$$

3) L'hexagonale compacte. $c=2h=4r\sqrt{2/3}$ et $a=2r$, d'où le rapport idéal $$\frac{c}{a}=2\sqrt{\frac{2}{3}}\approx 1,633.$$ La base est un losange de côté $a$ et d'angle $120{}^{\circ }$, d'aire $a^2\sin 120{}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2$ ; le volume de la maille vaut $\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^{2}c$. Avec $2$ atomes : $$C_{\text{HC}}=\frac{2\times \frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{\sqrt{3}}{2}(2r{)}^2\times 4r\sqrt{2/3}}=\frac{\frac{8}{3}\pi r^3}{8\sqrt{2}{r}^3}=\frac{\pi }{3\sqrt{2}}=\frac{\pi \sqrt{2}}{6}\approx 0,740.$$ C'est la compacité de la CFC : elle ne dépend pas de l'ordre d'empilement, puisque la densité des plans et leur distance $h$ sont les mêmes.

4) La CFC vue le long de la grande diagonale. Plaçons l'origine en un sommet du cube et notons $(x,y,z)$ les coordonnées en unités de $a$. Le plan d'équation $x+y+z=1$, perpendiculaire à la grande diagonale issue de l'origine, contient les trois sommets $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$, qui forment un triangle équilatéral de côté $a\sqrt{2}$, et les trois centres de faces $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$, $(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})$, $(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$, qui sont les milieux de ses côtés. Deux voisins y sont à $\frac{a\sqrt{2}}{2}$, distance de contact de la CFC : chaque atome est tangent à six voisins en hexagone, le plan est compact. Le long de la grande diagonale, de longueur $a\sqrt{3}$, se succèdent les plans $x+y+z=0$, $1$, $2$, $3$ : trois intervalles égaux. D'un plan au suivant, les projections sont décalées d'un même vecteur, et le quatrième revient à l'aplomb du premier : c'est l'empilement ABCABC… (le troisième plan est au-dessus des creux c de A). Donc : $$a\sqrt{3}=3h=6r\sqrt{\frac{2}{3}}⟹a=2\sqrt{2}r⟹a\sqrt{2}=4r,$$ la relation du cours. La CFC est donc un empilement compact, ce qui démontre à la fois sa compacité $0,74$ et sa coordinence $12$ (six voisins dans le plan, trois au-dessus, trois au-dessous).

Les sites. La maille CFC contient $4$ atomes ; d'après la question 1, un empilement compact compte $2$ sites tétraédriques et $1$ site octaédrique par atome. On retrouve $8$ sites tétraédriques et $4$ sites octaédriques par maille, exactement le décompte du cours ($8$ petits cubes d'arête $a/2$ ; centre du cube et douze milieux d'arêtes comptant $\frac{1}{4}$).

5) Confrontation. Magnésium : $c/a=521,0/320,9\approx 1,624$, à $0,6\%$ du rapport idéal $1,633$ : les atomes de magnésium se comportent comme des sphères dures. Zinc : $c/a=494,7/266,5\approx 1,856$, soit $14\%$ au-dessus de la valeur idéale. Les plans du zinc sont trop écartés : un atome de zinc n'est pas une sphère (six voisins à $266\mathrm{pm}$ dans le plan, six à $291\mathrm{pm}$ hors du plan). Le modèle des sphères dures, excellent pour le magnésium, atteint ici sa limite.

Ce que l'exercice installe. Le plan compact suffit à tout : deux sites tétraédriques et un octaédrique par atome, $h=2r\sqrt{2/3}$, compacité $0,74$. La CFC est l'empilement ABC vu le long de la grande diagonale : c'est ainsi qu'on localise les sites « entre les plans d'empilement », comme le demande le programme.