Paver le plan : maille simple, maille multiple, compacité d'un plan

La stratégie. Une maille, au sens du cours, est un parallélogramme (dans le plan) ou un parallélépipède (dans l'espace) construit sur des vecteurs de translation du réseau, dont les translatés pavent tout l'espace sans trou ni recouvrement. On vérifie donc que ses côtés sont des translations du réseau, puis l'on compte la population en propre : un atome placé à un sommet est partagé entre les mailles qui s'y rejoignent.

1) Le plan carré. Deux disques voisins sont tangents le long d'un côté du carré : $a=2r$. Le carré de côté $a$ dont les quatre sommets sont des centres d'atomes est construit sur les deux translations $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{b}$ du réseau, de même longueur $a$ et orthogonales : c'est une maille. Chaque sommet est partagé par quatre carrés, donc la population vaut $4\times \frac{1}{4}=1$. La compacité surfacique est le rapport de la surface d'un disque à celle de la maille : $$C_2=\frac{\pi r^2}{a^2}=\frac{\pi r^2}{4r^2}=\frac{\pi }{4}\approx 0,785.$$

2a) Le losange. Trois atomes mutuellement tangents forment un triangle équilatéral de côté $2r$ : les vecteurs $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{b}$ qui mènent d'un atome à deux voisins consécutifs ont pour longueur $2r$, font un angle de $60{}^{\circ }$, et sont des translations du réseau (le plan compact est identique à lui-même vu depuis n'importe quel atome). Le losange construit sur eux, fait de deux triangles équilatéraux accolés, est une maille. Aux sommets, les angles valent $60{}^{\circ }$, $120{}^{\circ }$, $60{}^{\circ }$, $120{}^{\circ }$ ; un atome placé à un sommet d'angle $\theta$ est partagé en proportion $\theta /360{}^{\circ }$, d'où une population $$N=2\times \frac{60}{360}+2\times \frac{120}{360}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1.$$ C'est une maille simple. Son aire vaut $(2r)(2r)\sin 60{}^{\circ }=2\sqrt{3}{r}^2$, et $$C_2=\frac{\pi r^2}{2\sqrt{3}{r}^2}=\frac{\pi }{2\sqrt{3}}\approx 0,907.$$

2b) Le rectangle centré. Le vecteur $2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$, combinaison entière de translations, est une translation du réseau, orthogonale à $\overrightarrow{a}$ (car $\overrightarrow{a}\cdot (2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=8r^2\cos 60{}^{\circ }-4r^2=0$) et de longueur $2\sqrt{3}r$ (Pythagore dans deux triangles équilatéraux accolés). Le rectangle construit sur $\overrightarrow{a}$ et $2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$ est donc une maille ; ses sommets comptent $\frac{1}{4}$, et son centre, l'extrémité de $\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}(2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$, est un atome intérieur : $$N=4\times \frac{1}{4}+1=2.$$ C'est une maille multiple, plus symétrique mais deux fois plus grande. Densité surfacique : $\frac{2}{2r\times 2\sqrt{3}r}=\frac{1}{2\sqrt{3}{r}^2}$, exactement celle du losange. Le choix de la maille n'est pas unique ; la densité d'atomes, propriété du cristal, l'est.

2c) L'hexagone. L'hexagone régulier pave le plan (les alvéoles d'abeilles), mais ce n'est pas un parallélogramme construit sur deux translations : ce n'est pas une maille au sens du cours. Son contenu en propre se compte pourtant : l'atome central compte $1$, et chacun des six atomes des sommets est partagé entre trois hexagones (les angles de l'hexagone valent $120{}^{\circ }$), d'où $1+6\times \frac{1}{3}=3$ atomes. Son aire vaut $6\times \frac{\sqrt{3}}{4}(2r{)}^2=6\sqrt{3}{r}^2$ : densité $\frac{3}{6\sqrt{3}{r}^2}=\frac{1}{2\sqrt{3}{r}^2}$, la même encore.

3) Comparaison, et les creux. $\pi /(2\sqrt{3})\approx 0,907>\pi /4\approx 0,785$ : le plan compact couvre $91\%$ de la surface contre $79\%$ pour le plan carré. C'est (on l'admet) le meilleur remplissage possible du plan : d'où le nom de plan compact. Entre les disques restent des creux triangulaires, un par triangle équilatéral de trois atomes tangents. Chaque atome est le sommet de six triangles et chaque triangle a trois sommets : il y a donc $6/3=2$ creux par atome. Ce décompte servira à l'exercice 3.

4) Ordre de grandeur. La densité surfacique vaut $$\sigma =\frac{1}{2\sqrt{3}{r}^2}=\frac{1}{2\sqrt{3}\times (127,8\times 10^{-12}{)}^2}\approx 1,8\times 10^{19}{\mathrm{m}}^{-2},$$ soit une aire par atome de $5,7\times 10^{-20}{\mathrm{m}}^2$, c'est-à-dire $0,057\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$. Un gramme de catalyseur finement divisé, de surface spécifique $100{\mathrm{m}}^2{\mathrm{g}}^{-1}$, expose ainsi environ $10^{21}$ atomes, soit $3\times 10^{-3}\mathrm{mol}$ de sites actifs.

Ce que l'exercice installe. Une maille est un parallélépipède de translation, non unique, mais la densité est toujours la même. On compte en propre selon la fraction d'atome qui tombe dans la maille. Et le plan compact, avec ses deux creux par atome, est la brique de la CFC.