Brûler du méthane dans l'air : l'analyseur de fumées

La stratégie. Le tableau d'avancement porte toutes les espèces — y compris le diazote, qui ne réagit pas mais compte dans chaque fraction molaire. Puis on inverse la relation entre $e$ et $x_{\mathrm{O}{}_2}$.

1) L'équation et le cas stœchiométrique. La combustion complète d'un hydrocarbure donne du dioxyde de carbone et de l'eau ; on équilibre le carbone, puis l'hydrogène, puis l'oxygène : $$\mathrm{CH}{}_4+2\mathrm{O}{}_2\to \mathrm{CO}{}_2+2\mathrm{H}{}_2\mathrm{O}.$$ L'air stœchiométrique apporte $2\mathrm{mol}$ de dioxygène, donc $2\times \frac{79}{21}\approx 7,52\mathrm{mol}$ de diazote.

La quantité totale de gaz ne varie pas : la somme des coefficients vaut $1+2-1-2=0$. Dans les fumées, $x_{\mathrm{CO}{}_2}=1/10,52\approx 9,5\%$ et $x_{\mathrm{H}{}_2\mathrm{O}}=2/10,52\approx 19,0\%$. Le diazote, spectateur, fait $71,5\%$ des fumées : il compte dans les fractions molaires.

2) Avec un excès d'air. L'air apporte $2(1+e)$ mol de dioxygène et $7,52(1+e)$ mol de diazote. Le rapport $n_{\mathrm{O}{}_2}/2=1+e$ dépasse $n_{\mathrm{CH}{}_4}/1=1$ : le méthane est limitant, ${\xi }_{\max }=1\mathrm{mol}$, et la combustion étant totale, ${\xi }_{\text{f}}=1\mathrm{mol}$. Les fumées contiennent $1$ mol de dioxyde de carbone, $2$ mol d'eau, $2(1+e)-2=2e$ mol de dioxygène et $7,52(1+e)$ mol de diazote, soit $$n_{\text{tot}}=3+2e+7,52(1+e)=10,52+9,52e,x_{\mathrm{O}{}_2}=\frac{2e}{10,52+9,52e}.$$ Pour $e=0,20$ : $n_{\text{tot}}=12,43\mathrm{mol}$, $x_{\mathrm{O}{}_2}\approx 3,2\%$, $x_{\mathrm{CO}{}_2}\approx 8,0\%$, $x_{\mathrm{H}{}_2\mathrm{O}}\approx 16,1\%$.

Cas limites. Pour $e=0$, on retrouve $x_{\mathrm{O}{}_2}=0$ ; pour $e\to +\infty$, les fumées deviennent de l'air, et $x_{\mathrm{O}{}_2}\to 2/9,52=21\%$ : la formule a le bon comportement aux deux bouts.

3) Le problème inverse. On résout $x(10,52+9,52e)=2e$ par rapport à $e$ : $$e=\frac{10,52x}{2-9,52x}.$$ Avec $x=0,032$ : $e=\frac{0,337}{1,695}\approx 0,20$. La chaudière fonctionne avec $20\%$ d'excès d'air. Un peu d'excès garantit une combustion complète ; trop emporte de la chaleur dans les fumées.

Pourquoi mesurer le dioxygène restant ? Parce qu'une fraction molaire se mesure dans un petit échantillon prélevé dans la cheminée, sans connaître aucun débit : c'est une grandeur intensive. Le tableau d'avancement la transforme en une information sur les proportions initiales.

4) Le point de rosée. L'eau commence à condenser quand sa pression partielle atteint la pression de vapeur saturante. Sans excès d'air, $P_{\mathrm{H}{}_2\mathrm{O}}=0,190\times 101,3\approx 19,3\mathrm{kPa}$, entre $15,8$ et $19,9\mathrm{kPa}$ : par interpolation linéaire, la rosée a lieu vers $59{}^{\circ }\mathrm{C}$. Avec $20\%$ d'excès, $P_{\mathrm{H}{}_2\mathrm{O}}=0,161\times 101,3\approx 16,3\mathrm{kPa}$ : rosée vers $56{}^{\circ }\mathrm{C}$ — l'excès d'air dilue la vapeur et abaisse le point de rosée. Une chaudière à condensation ne récupère la chaleur latente de l'eau que si les fumées sont refroidies au-dessous : l'eau de retour doit arriver nettement sous $55{}^{\circ }\mathrm{C}$.

5) Le domaine de l'avancement. Toutes les quantités $n_i=n_{i,0}+{\nu }_i\xi$ doivent rester positives ou nulles. Au-delà de ${\xi }_{\max }$, celle du méthane deviendrait négative : impossible. Un avancement négatif (réaction en sens inverse) n'est possible que si des produits sont présents au départ ; ici $n_{\mathrm{CO}{}_2}=\xi$ interdit $\xi <0$. En général, $\xi \in [{\xi }_{\min },{\xi }_{\max }]$, bornes fixées par l'épuisement d'un produit et d'un réactif.

Ce que l'exercice installe. Le tableau d'avancement porte toutes les espèces, spectatrices comprises, et se lit dans les deux sens : d'une mesure sur l'état final, on remonte aux conditions initiales. L'intervalle $[{\xi }_{\min },{\xi }_{\max }]$ servira à l'exercice 5.