$p{K}_a$ d'un indicateur par spectrophotométrie : le point isosbestique

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Beer-Lambert et l'additivité des absorbances ; la conservation de la matière ; la définition de $K_a$. La stratégie : écrire $A$ en fonction des deux concentrations, éliminer l'une par la conservation, faire apparaître $[\mathrm{In}{}^{-}]/[\mathrm{HIn}]$.

1) Additivité et point isosbestique. À toute longueur d'onde : $$A={\epsilon }_{\mathrm{HIn}}\ell [\mathrm{HIn}]+{\epsilon }_{\mathrm{In}{}^{-}}\ell [\mathrm{In}{}^{-}],[\mathrm{HIn}]+[\mathrm{In}{}^{-}]=c.$$ En remplaçant $[\mathrm{HIn}]$ par $c-[\mathrm{In}{}^{-}]$ : $$A={\epsilon }_{\mathrm{HIn}}\ell c+\left({\epsilon }_{\mathrm{In}{}^{-}}-{\epsilon }_{\mathrm{HIn}}\right)\ell [\mathrm{In}{}^{-}].$$ Le pH n'agit que sur $[\mathrm{In}{}^{-}]$ : $A$ en est indépendante si et seulement si ${\epsilon }_{\mathrm{In}{}^{-}}={\epsilon }_{\mathrm{HIn}}$. Le point commun est la longueur d'onde où les deux formes ont le même coefficient : le point isosbestique, où $A=\epsilon \ell c$, d'où $\epsilon (500)=\frac{0,25}{1,00\times 2,5\times 10^{-5}}=1,0\times 10^4\mathrm{L}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}$.

Le point délicat : le raisonnement suppose deux formes seulement, de concentration totale fixée. Avec une troisième espèce absorbante, rien n'obligerait les spectres à passer par un même point : un point isosbestique signe un seul équilibre entre deux espèces ; son absence invaliderait l'analyse qui suit.

2) Les absorbances limites. À pH $5,0$, l'indicateur est presque entièrement sous la forme $\mathrm{HIn}$ ; à pH $9,5$, sous la forme $\mathrm{In}{}^{-}$. Donc $A_{\text{base}}={\epsilon }_{\mathrm{In}{}^{-}}(620)\ell c$ et $${\epsilon }_{\mathrm{In}{}^{-}}(620)=\frac{0,948}{1,00\times 2,5\times 10^{-5}}=3,8\times 10^4\mathrm{L}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-1}.$$ À pH $5,0$, il reste $\frac{1}{1+10^{7,11-5,0}}\approx 0,8\%$ de $\mathrm{In}{}^{-}$ (avec le $\mathrm{p}{K}_a$ trouvé plus loin), soit $A\approx 0,007$ : c'est, au bruit près, la valeur lue. On prend donc $A_{\text{acide}}$ mesurée, et non nulle.

3) La relation. Avec ${\epsilon }_a$ et ${\epsilon }_b$ les coefficients de $\mathrm{HIn}$ et $\mathrm{In}{}^{-}$ à $620\mathrm{nm}$ (${\epsilon }_a$ gardé quelconque) : $A_{\text{acide}}={\epsilon }_a\ell c$, $A_{\text{base}}={\epsilon }_b\ell c$, et, avec $x=[\mathrm{In}{}^{-}]/c$, $$A=\ell c({\epsilon }_a(1-x)+{\epsilon }_{b}x)=A_{\text{acide}}+(A_{\text{base}}-A_{\text{acide}})x.$$ Donc $x=\frac{A-A_{\text{acide}}}{A_{\text{base}}-A_{\text{acide}}}$ et $1-x=\frac{A_{\text{base}}-A}{A_{\text{base}}-A_{\text{acide}}}$, d'où $$\frac{[\mathrm{In}{}^{-}]}{[\mathrm{HIn}]}=\frac{x}{1-x}=\frac{A-A_{\text{acide}}}{A_{\text{base}}-A}.$$ Avec $K_a=\frac{[\mathrm{In}{}^{-}][\mathrm{H}{}_3\mathrm{O}{}^{+}]}{[\mathrm{HIn}]c^{\circ }}$, soit $\mathrm{pH}=\mathrm{p}{K}_a+\log \frac{[\mathrm{In}{}^{-}]}{[\mathrm{HIn}]}$, on obtient la relation demandée. Le produit $\ell c$ s'est simplifié : il suffit que $c$ soit constante, pas qu'elle soit connue.

4) La régression. Le script :

import numpy as np

# pH et absorbance a 620 nm (cuve 1,00 cm, c = 2,5e-5 mol/L)
pH = np.array([6.2, 6.6, 6.9, 7.1, 7.3, 7.6, 8.0])
A = np.array([0.110, 0.230, 0.362, 0.479, 0.584, 0.720, 0.846])
Aa, Ab = 0.009, 0.948        # absorbances limites (pH 5,0 et 9,5)

y = np.log10((A - Aa) / (Ab - A))
pente, ordo = np.polyfit(pH, y, 1)
R2 = np.corrcoef(pH, y)[0, 1] ** 2
pKa = -ordo / pente
print("pente =", round(pente, 3), " ordonnee =", round(ordo, 2))
print("R2 =", round(R2, 5), " pKa =", round(pKa, 2))

# fraction de forme basique au pKa trouve, et absorbance reduite
alpha = 1 / (1 + 10 ** (pKa - pH))
print("alpha     :", np.round(alpha, 3))
print("A reduite :", np.round((A - Aa) / (Ab - Aa), 3))

Résultat obtenu en l'exécutant :

pente = 1.017  ordonnee = -7.22
R2 = 0.99988  pKa = 7.11
alpha     : [0.11  0.238 0.384 0.497 0.61  0.757 0.887]
A reduite : [0.108 0.235 0.376 0.501 0.612 0.757 0.891]

Les valeurs de $y$ vont de $-0,92$ à $+0,91$ ; la droite a pour pente $1,02$ et pour ordonnée à l'origine $-7,22$, et le $\mathrm{p}{K}_a$ est le pH où $y=0$ : $\mathrm{p}{K}_a=7,22/1,017=7,11$.

Ce que valide la pente. La question 3 prévoit une pente égale à un. La valeur $1,02$, avec $R^2=0,9999$, valide le modèle (un seul couple, Beer-Lambert) et les absorbances limites ; une pente nettement différente signalerait une erreur sur celles-ci ou un second équilibre. On n'impose pas la pente : on la mesure, et elle contrôle.

5) Distribution et zone de virage. La fraction $\alpha =\frac{1}{1+10^{\mathrm{p}{K}_a-\mathrm{pH}}}$ calculée avec $\mathrm{p}{K}_a=7,11$ coïncide, au millième près, avec $\frac{A-A_{\text{acide}}}{A_{\text{base}}-A_{\text{acide}}}$ : l'absorbance réduite à $620\mathrm{nm}$ est le diagramme de distribution de la forme basique, mesuré directement. Les deux formes sont en proportions comparables (rapport entre un dixième et dix) pour $\mathrm{p}{K}_a-1<\mathrm{pH}<\mathrm{p}{K}_a+1$, soit de 6,1 à 8,1 environ : la teinte y passe du jaune au bleu par le vert. À $500\mathrm{nm}$, l'absorbance ne dépend pas du pH : elle ne dit rien du rapport des formes (elle vérifie seulement que $c$ est constante) ; à $620\mathrm{nm}$, l'écart entre les formes, donc la sensibilité, est maximal.

Ce que l'exercice installe. Additivité et conservation de la matière font du spectrophotomètre un instrument de mesure d'un rapport de concentrations, donc d'une constante d'équilibre ; le point isosbestique teste l'hypothèse d'un seul équilibre, la pente la vérifie. Méthode numérique : linéariser, ajuster, juger le modèle à la pente.