L'éthanol, antidote du méthanol : inhibition compétitive d'une enzyme

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'AEQS, la conservation de l'enzyme, un équilibre rapide, la régression linéaire, et les interactions entre entités (coordination, van der Waals, effet hydrophobe, liaison hydrogène).

1) Michaelis-Menten. Le complexe $\mathrm{ES}$ est consommé aussi vite qu'il est formé (l'enzyme est en quantité infime) : AEQS, $k_1[\mathrm{E}][\mathrm{S}]=(k_{-1}+k_2)[\mathrm{ES}]$, soit $[\mathrm{E}]=\frac{K_M[\mathrm{ES}]}{[\mathrm{S}]}$ avec $K_M=\frac{k_{-1}+k_2}{k_1}$. La conservation $[\mathrm{E}{]}_0=[\mathrm{E}]+[\mathrm{ES}]$ donne $[\mathrm{ES}]=\frac{[\mathrm{E}{]}_0[\mathrm{S}]}{K_M+[\mathrm{S}]}$, et $$v=k_2[\mathrm{ES}]=\frac{v_{\text{max}}[\mathrm{S}]}{K_M+[\mathrm{S}]},v_{\text{max}}=k_2[\mathrm{E}{]}_0.$$

2) L'inhibition compétitive. La conservation compte maintenant trois formes, $[\mathrm{E}{]}_0=[\mathrm{E}]+[\mathrm{ES}]+[\mathrm{EI}]$, avec $[\mathrm{EI}]=[\mathrm{E}][\mathrm{I}]/K_I$ et toujours $[\mathrm{E}]=K_M[\mathrm{ES}]/[\mathrm{S}]$ : $$[\mathrm{E}{]}_0=[\mathrm{ES}]\left(\frac{K_M}{[\mathrm{S}]}\left(1+\frac{[\mathrm{I}]}{K_I}\right)+1\right),v=\frac{v_{\text{max}}[\mathrm{S}]}{K_M\left(1+[\mathrm{I}]/K_I\right)+[\mathrm{S}]}.$$ $v_{\text{max}}$ est inchangée ; $K_M$ devient $K_{M,\text{app}}=K_M(1+[\mathrm{I}]/K_I)$, plus grande. Substrat et inhibiteur se disputent le même site : à très grand $[\mathrm{S}]$, le substrat l'emporte et $v\to v_{\text{max}}$.

3) Lineweaver et Burk. $\frac{1}{v}=\frac{K_{M,\text{app}}}{v_{\text{max}}}\cdot \frac{1}{[\mathrm{S}]}+\frac{1}{v_{\text{max}}}$ : droite d'ordonnée à l'origine $1/v_{\text{max}}$ et de pente $K_{M,\text{app}}/v_{\text{max}}$.

import numpy as np

S  = np.array([2.0, 5.0, 10, 20, 50])               # mmol/L
v0 = np.array([0.167, 0.333, 0.500, 0.667, 0.833])  # sans ethanol
vI = np.array([0.0625, 0.143, 0.250, 0.400, 0.625]) # [I] = 2,0 mmol/L

for nom, v in (("sans", v0), ("avec", vI)):
    a, b = np.polyfit(1/S, 1/v, 1)                  # 1/v = a/[S] + b
    print(f"{nom} : vmax = {1/b:.3f}, KM = {a/b:.2f}")

Résultat obtenu en l'exécutant :

sans : vmax = 0.997, KM = 9.95
avec : vmax = 1.001, KM = 30.03

Donc $v_{\text{max}}=1,00\mu \mathrm{mol}{\mathrm{L}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $K_M=10\mathrm{mmol}{\mathrm{L}}^{-1}$ ; avec éthanol, même $v_{\text{max}}$ et $K_{M,\text{app}}=30\mathrm{mmol}{\mathrm{L}}^{-1}$. Alors $1+[\mathrm{I}]/K_I=3$ et $K_I=2,0/2=1,0\mathrm{mmol}{\mathrm{L}}^{-1}$. Les deux droites ont la même ordonnée à l'origine et des pentes différentes : elles se coupent sur l'axe des ordonnées, signature de l'inhibition compétitive.

4) Le traitement. Avec $[\mathrm{S}]=5,0$, $[\mathrm{I}]=20$, $K_M=10$, $K_I=1,0\mathrm{mmol}{\mathrm{L}}^{-1}$, le rapport des vitesses sans et avec éthanol vaut $$\frac{K_M(1+[\mathrm{I}]/K_I)+[\mathrm{S}]}{K_M+[\mathrm{S}]}=\frac{10\times 21+5}{15}=\frac{215}{15}=14.$$ La vitesse d'oxydation est divisée par quatorze. Le méthanol n'est pas éliminé plus vite, mais les toxiques sont ses métabolites : produits quatorze fois plus lentement, ils ne s'accumulent plus, l'organisme les élimine au fur et à mesure. On agit sur la cinétique : on gagne du temps.

5) Le site actif. Trois interactions : la liaison de coordination entre un doublet non liant de l'oxygène de l'alcool et l'ion $\mathrm{Zn}{}^{2+}$, acide de Lewis ; les interactions de van der Waals et l'effet hydrophobe entre la chaîne carbonée et la poche apolaire ; éventuellement des liaisons hydrogène avec le groupe hydroxyle. L'éthanol porte un $\mathrm{CH}{}_2$ de plus : sa chaîne remplit mieux la poche hydrophobe, le complexe est plus stable, sa constante de dissociation plus petite ($K_I=1$ contre $K_M=10\mathrm{mmol}{\mathrm{L}}^{-1}$). Rôle du zinc : en attirant la densité électronique de l'oxygène, il polarise et affaiblit la liaison $\mathrm{O}-\mathrm{H}$ ; l'alcool se déprotone plus facilement en alcoolate lié au zinc, qui cède ensuite un ion hydrure au $\mathrm{NAD}{}^{+}$.

Ce que l'exercice installe. Établir une loi enzymatique à partir d'un mécanisme fourni (AEQS et conservation de l'enzyme), l'étendre à un inhibiteur par un équilibre rapide, linéariser et lire les droites de Lineweaver et Burk. Et relier la structure du site actif à l'affinité et à l'activité catalytique.