Cubique simple et cubique centré : tout ce qu'une structure fournie permet de calculer

La stratégie. Quatre gestes : (i) compter les atomes en propre ; (ii) trouver la direction de contact (la plus courte distance entre deux centres) et l'égaler à $2r$ ; (iii) lire la coordinence ; (iv) en déduire $C=\frac{N\cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{a^3}$ et $\rho =\frac{NM}{N_A{a}^3}$. Le point délicat est (ii).

1) Cubique simple. Huit sommets comptant $\frac{1}{8}$ : $N=1$. Contact le long de l'arête, $a=2r$ ; coordinence $6$. Compacité : $$C_{\text{CS}}=\frac{1\times \frac{4}{3}\pi r^3}{(2r{)}^3}=\frac{\pi }{6}\approx 0,524.$$

Cubique centré. $N=8\times \frac{1}{8}+1=2$. L'atome central est à $\frac{a\sqrt{3}}{2}<a$ des huit sommets : le contact se fait le long de la grande diagonale, qui contient un rayon, un diamètre et un rayon : $$a\sqrt{3}=4r.$$ Deux sommets voisins, à $a=\frac{4r}{\sqrt{3}}\approx 2,31r>2r$, ne se touchent pas : c'est l'erreur classique. Tout atome de sommet étant le centre d'un cube voisin, la coordinence est $8$ pour tous. Compacité : $$C_{\text{CC}}=\frac{2\times \frac{4}{3}\pi r^3}{a^3}=\frac{\frac{8}{3}\pi r^3}{{\left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)}^3}=\frac{\pi \sqrt{3}}{8}\approx 0,680.$$

2) Les seconds voisins de la CC. Ce sont les centres des six cubes voisins, à une arête de distance : $6$ seconds voisins à la distance $a$, soit $\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1,155$ fois la distance des premiers. Seulement $15\%$ plus loin, ils participent à la cohésion d'une liaison non directionnelle : la coordinence « effective » de la CC est entre $8$ et $14$. En CFC, les seconds voisins sont $41\%$ plus loin : la coordinence $12$ y est franche.

3) Le polonium. $a^3=(3,352\times 10^{-8}\mathrm{cm}{)}^3=3,766\times 10^{-23}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$, et $$\rho =\frac{NM}{N_A{a}^3}=\frac{1\times 209}{6,022\times 10^{23}\times 3,766\times 10^{-23}}\approx 9,21\mathrm{g}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3},$$ à $0,2\%$ de la valeur mesurée. Rayon métallique : $r=a/2=167,6\mathrm{pm}$.

4) Le sodium. $a^3=(4,291\times 10^{-8}{)}^3=7,901\times 10^{-23}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$ ; $$\rho =\frac{2\times 22,99}{6,022\times 10^{23}\times 7,901\times 10^{-23}}\approx 0,966\mathrm{g}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3},$$ contre $0,968$ mesuré : écart de $0,2\%$. Rayon : $r=\frac{a\sqrt{3}}{4}\approx 185,8\mathrm{pm}$, en accord avec les $186\mathrm{pm}$ tabulés. La masse volumique est une observable que le cristal parfait prédit très bien, au pour mille près.

5) Classement. $C_{\text{CS}}=0,52<C_{\text{CC}}=0,68<C_{\text{CFC}}=0,74$. La liaison métallique n'étant pas directionnelle, la cohésion croît avec le nombre de voisins : les métaux adoptent des structures compactes (CFC, hexagonale compacte) ou presque (CC). La CS, $48\%$ de vide et six voisins, est défavorable ; le polonium, à liaison partiellement directionnelle (admis), est l'exception.

Ce que l'exercice installe. La méthode en quatre gestes pour toute structure fournie, et le premier aller-retour modèle-mesure, au pour mille près.