Empilements compacts ABAB et ABCABC : la CFC est un empilement compact

La stratégie. On construit l'espace plan par plan (triangle équilatéral et tétraèdre régulier d'arête $2r$), puis on reconnaît ces plans dans la CFC : cela démontre qu'elle est compacte et fournit ses sites sans les chercher un à un.

1) Les cavités entre deux plans. Le plan A a deux creux par atome (exercice 1), « creux b » et « creux c ». Deux creux adjacents ne sont distants que de $\frac{2r}{\sqrt{3}}\approx 1,15r<2r$ : les sphères de B n'en occupent que la moitié, les creux b. Sites tétraédriques : chaque sphère de B ferme une cavité de trois sphères de A et une de B ; symétriquement, chaque sphère de A est sous un creux de B, d'où une cavité d'une sphère de A et trois de B. A et B ayant autant d'atomes : $2$ sites tétraédriques par atome. Sites octaédriques : au-dessus de chaque creux c de A se trouve un creux de B ; la cavité est délimitée par trois sphères de A et trois de B formant un triangle tourné de $60{}^{\circ }$, un octaèdre : $1$ site octaédrique par atome. Un empilement de $n$ atomes compte donc $2n$ sites tétraédriques et $n$ octaédriques, quel que soit l'ordre d'empilement.

2) La distance entre plans. Les quatre centres forment un tétraèdre régulier d'arête $2r$ ; le pied de sa hauteur $h$ est le centre de gravité de la base, à $\frac{2}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times 2r=\frac{2r}{\sqrt{3}}$ de chaque sommet ; par Pythagore : $$h^2=(2r{)}^2-\frac{4r^2}{3}=\frac{8r^2}{3},h=2r\sqrt{\frac{2}{3}}\approx 1,633r.$$

3) L'hexagonale compacte. $c=2h=4r\sqrt{2/3}$ et $a=2r$, d'où le rapport idéal $$\frac{c}{a}=2\sqrt{\frac{2}{3}}\approx 1,633.$$ La base, losange d'angle $120{}^{\circ }$, a pour aire $\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2$ ; avec $2$ atomes : $$C_{\text{HC}}=\frac{2\times \frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{\sqrt{3}}{2}(2r{)}^2\times 4r\sqrt{2/3}}=\frac{\frac{8}{3}\pi r^3}{8\sqrt{2}{r}^3}=\frac{\pi \sqrt{2}}{6}\approx 0,740.$$ C'est la compacité de la CFC : elle ne dépend pas de l'ordre d'empilement (mêmes plans, même distance $h$).

4) La CFC vue le long de la grande diagonale. Origine en un sommet du cube, coordonnées $(x,y,z)$ en unités de $a$. Le plan $x+y+z=1$, perpendiculaire à la grande diagonale issue de l'origine, contient les sommets $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$, triangle équilatéral de côté $a\sqrt{2}$, et les centres de faces $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$, $(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})$, $(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$, milieux de ses côtés. Deux voisins y sont à $\frac{a\sqrt{2}}{2}$, distance de contact de la CFC : chaque atome est tangent à six voisins en hexagone, le plan est compact. Le long de la grande diagonale, de longueur $a\sqrt{3}$, se succèdent les plans $x+y+z=0$, $1$, $2$, $3$ : trois intervalles égaux, des projections décalées d'un même vecteur, et le quatrième à l'aplomb du premier : c'est l'empilement ABCABC…. Donc : $$a\sqrt{3}=3h=6r\sqrt{\frac{2}{3}}⟹a=2\sqrt{2}r⟹a\sqrt{2}=4r,$$ la relation du cours. La CFC est un empilement compact : compacité $0,74$, coordinence $12$ (six voisins dans le plan, trois au-dessus, trois au-dessous).

Les sites. Avec $4$ atomes par maille et, d'après la question 1, $2$ sites tétraédriques et $1$ octaédrique par atome, on retrouve les $8$ sites tétraédriques et $4$ octaédriques du cours ($8$ petits cubes d'arête $a/2$ ; centre du cube et douze milieux d'arêtes comptant $\frac{1}{4}$).

5) Confrontation. Magnésium : $c/a=521,0/320,9\approx 1,624$, à $0,6\%$ du rapport idéal : des sphères dures. Zinc : $c/a=494,7/266,5\approx 1,856$, $14\%$ au-dessus. Les plans du zinc sont trop écartés : un atome de zinc n'est pas une sphère (six voisins à $266\mathrm{pm}$ dans le plan, six à $291\mathrm{pm}$ hors du plan). Le modèle des sphères dures atteint ici sa limite.

Ce que l'exercice installe. Le plan compact suffit à tout : deux sites tétraédriques et un octaédrique par atome, $h=2r\sqrt{2/3}$, compacité $0,74$. La CFC est l'empilement ABC vu le long de la grande diagonale : c'est ainsi qu'on localise les sites « entre les plans d'empilement ».