Habitabilité d'un site

Le site du centre du cube est à $a/2$ des six centres de faces. Sur la droite qui joint deux centres de faces opposées (longueur $a$), on trouve un rayon, le diamètre de la sphère insérée, un rayon : $2r+2r_i=a$, soit $r_i=\frac{a}{2}-r$. Avec $r=\frac{a\sqrt{2}}{4}$ : $r_i=\frac{(2-\sqrt{2})a}{4}\approx 0,146a=(\sqrt{2}-1)r\approx 0,414r$. Le site tétraédrique, à $\frac{a\sqrt{3}}{4}$ de ses quatre voisins, n'offre que $\left(\sqrt{3/2}-1\right)r\approx 0,225r$ : l'octaédrique est le plus habitable. Ce que l'exercice installe : habitabilité $=$ distance au plus proche voisin $-r$.