Les lacunes de l'aluminium — exercice corrigé de chimie (PCSI) (chapitre 8)

Les lacunes de l'aluminium

Structure des solides cristallins · niveau 3 (difficile)

Énoncé

L'aluminium (CFC) est chauffé de $20$ à $650^{\circ} C$ (fusion : $660^{\circ} C$ ). On mesure l'allongement relatif du barreau, $\frac{Δ L}{L} = 1, 620 %$ , et la variation relative du paramètre de maille par diffraction des rayons X, $\frac{Δ a}{a} = 1, 590 %$ (données arrondies, de l'ordre de celles de l'expérience de Simmons et Balluffi, 1960). On admet le cristal parfait à $20^{\circ} C$ et la dilatation isotrope.

Que vaudrait $\frac{Δ L}{L} - \frac{Δ a}{a}$ pour un cristal parfait ?
Le cristal réel contient des lacunes (nœuds inoccupés) : $N_{s}$ sites, $N_{at}$ atomes, $x_{v} = \frac{N _{s} - N _{at}}{N _{at}}$ . Montrer que $(1 + \frac{Δ L}{L})^{3} = (1 + x_{v}) (1 + \frac{Δ a}{a})^{3}$ et calculer $x_{v}$ .

Corrigé

Stratégie : la règle mesure tout le barreau, donc tous les sites ; les rayons X ne mesurent que $a$ . 1. Un cristal parfait compte un nombre fixe de mailles, $N_{at} /4$ : sa longueur est proportionnelle à $a$ , et la différence est nulle. On mesure $3, 0 \times 1 0^{- 4}$ : le barreau a gagné des mailles. 2. Chaque maille contient $4$ sites, occupés ou non : $V = \frac{N _{s}}{4} a^{3}$ . À $20^{\circ} C$ , $N_{s} = N_{at}$ ; à $650^{\circ} C$ , $N_{s} = N_{at} (1 + x_{v})$ ; la dilatation étant isotrope, $V / V_{0} = (L / L_{0})^{3}$ , d'où la relation. Alors $x_{v} = (\frac{1 , 01620}{1 , 01590})^{3} - 1 \approx 8, 9 \times 1 0^{- 4}$ , et au premier ordre $x_{v} \approx 3 (\frac{Δ L}{L} - \frac{Δ a}{a}) = 9, 0 \times 1 0^{- 4}$ . Près de la fusion, un site sur mille est vide ; la masse volumique « rayons X » $\frac{4 M}{N _{A} a ^{3}}$ surestime alors la masse volumique réelle d'un facteur $1 + x_{v}$ , soit $0, 09 %$ . Ce que l'exercice installe : une limite du cristal parfait se mesure en cherchant une grandeur que le modèle prévoit nulle ; et une différence de deux mesures voisines exige une grande précision sur chacune.