Paver le plan : maille simple, maille multiple, compacité d'un plan

La stratégie. Une maille est un parallélogramme (dans le plan) ou un parallélépipède (dans l'espace) construit sur des vecteurs de translation du réseau, dont les translatés pavent tout sans trou ni recouvrement. On vérifie que ses côtés sont des translations, puis l'on compte la population en propre.

1) Le plan carré. Deux voisins sont tangents le long d'un côté : $a=2r$. Le carré construit sur les deux translations du réseau est une maille ; chaque sommet est partagé par quatre carrés, d'où $N=4\times \frac{1}{4}=1$, et $$C_2=\frac{\pi r^2}{a^2}=\frac{\pi r^2}{4r^2}=\frac{\pi }{4}\approx 0,785.$$

2a) Le losange. Les vecteurs $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{b}$ qui mènent d'un atome à deux voisins consécutifs ont pour longueur $2r$, font un angle de $60{}^{\circ }$, et sont des translations du réseau (le plan est identique à lui-même vu de n'importe quel atome) : le losange construit sur eux est une maille. Un atome placé à un sommet d'angle $\theta$ lui appartient pour la fraction $\theta /360{}^{\circ }$, d'où, avec deux angles de $60{}^{\circ }$ et deux de $120{}^{\circ }$, $$N=2\times \frac{60}{360}+2\times \frac{120}{360}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1.$$ C'est une maille simple. Son aire vaut $(2r)(2r)\sin 60{}^{\circ }=2\sqrt{3}{r}^2$, et $$C_2=\frac{\pi r^2}{2\sqrt{3}{r}^2}=\frac{\pi }{2\sqrt{3}}\approx 0,907.$$

2b) Le rectangle centré. Le vecteur $2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$ est une translation du réseau, orthogonale à $\overrightarrow{a}$ (car $\overrightarrow{a}\cdot (2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=8r^2\cos 60{}^{\circ }-4r^2=0$) et de longueur $2\sqrt{3}r$ : le rectangle construit sur $\overrightarrow{a}$ et $2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$ est une maille. Ses sommets comptent $\frac{1}{4}$, et son centre, extrémité de $\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}(2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$, est intérieur : $$N=4\times \frac{1}{4}+1=2.$$ C'est une maille multiple. Densité surfacique : $\frac{2}{2r\times 2\sqrt{3}r}=\frac{1}{2\sqrt{3}{r}^2}$, celle du losange. Le choix de la maille n'est pas unique ; la densité d'atomes, propriété du cristal, l'est.

2c) L'hexagone. Il pave le plan (les alvéoles d'abeilles), mais ce n'est pas un parallélogramme construit sur deux translations : ce n'est pas une maille au sens du cours. Il contient pourtant en propre $1+6\times \frac{1}{3}=3$ atomes (chaque sommet est partagé entre trois hexagones), pour une aire $6\sqrt{3}{r}^2$ : même densité encore.

3) Comparaison, et les creux. $\pi /(2\sqrt{3})\approx 0,907>\pi /4\approx 0,785$ : le plan compact couvre $91\%$ de la surface contre $79\%$. C'est (on l'admet) le meilleur remplissage possible du plan, d'où son nom. Entre les disques restent des creux triangulaires, un par triangle de trois atomes tangents. Chaque atome est le sommet de six triangles et chaque triangle a trois sommets : $6/3=2$ creux par atome. Ce décompte servira à l'exercice 3.

4) Ordre de grandeur. La densité surfacique vaut $$\sigma =\frac{1}{2\sqrt{3}{r}^2}=\frac{1}{2\sqrt{3}\times (127,8\times 10^{-12}{)}^2}\approx 1,8\times 10^{19}{\mathrm{m}}^{-2},$$ soit $0,057\mathrm{n}{\mathrm{m}}^2$ par atome. Un gramme de catalyseur de surface spécifique $100{\mathrm{m}}^2{\mathrm{g}}^{-1}$ expose ainsi environ $1,8\times 10^{21}$ atomes, soit $3\times 10^{-3}\mathrm{mol}$ de sites actifs.

Ce que l'exercice installe. Une maille est un parallélépipède de translation, non unique, à densité fixée ; on compte en propre ; et le plan compact, avec ses deux creux par atome, est la brique de la CFC.