Les lacunes de l'aluminium : ce que le cristal parfait ne voit pas

La stratégie. La règle mesure le barreau entier, donc tous les sites, occupés ou non ; les rayons X mesurent le paramètre $a$ seul. L'écart entre les deux compte les sites vides : on cherche ce que le cristal parfait, par construction, ne peut pas voir.

1) Le cristal parfait. Si le barreau est un cristal parfait, il est fait d'un nombre fixe de mailles, $N_{\mathrm{at}}/4$, et sa longueur est proportionnelle à $a$ : $L=ka$ avec $k$ constant. Les deux allongements relatifs sont alors égaux, et $\frac{\Delta L}{L}-\frac{\Delta a}{a}=0$. Or on mesure $1,620\%-1,590\%=0,030\%$, soit $3,0\times 10^{-4}$ : le barreau s'est allongé plus que sa maille. Il a donc gagné des mailles.

2) Le bilan des sites. Le volume du barreau est le nombre de mailles multiplié par le volume d'une maille. Chaque maille CFC contient $4$ sites en propre (qu'ils soient occupés ou non) : il y a $N_s/4$ mailles, et $$V=\frac{N_s}{4}{a}^3\propto N_s{a}^3.$$ À $20{}^{\circ }\mathrm{C}$, le cristal est parfait : $N_s=N_{\mathrm{at}}$, $V_0=\frac{N_{\mathrm{at}}}{4}{a}_0^3$. À $650{}^{\circ }\mathrm{C}$ : $V=\frac{N_{\mathrm{at}}(1+x_v)}{4}{a}^3$. La dilatation étant isotrope, $V/V_0=(L/L_0{)}^3$ ; donc $${\left(\frac{L}{L_0}\right)}^3=(1+x_v){\left(\frac{a}{a_0}\right)}^3,\text{soit}{\left(1+\frac{\Delta L}{L}\right)}^3=(1+x_v){\left(1+\frac{\Delta a}{a}\right)}^3.$$ D'où viennent les sites nouveaux ? Un atome intérieur migre vers la surface : il y crée un site et laisse une lacune.

3) La fraction de lacunes. $$x_v={\left(\frac{1+\Delta L/L}{1+\Delta a/a}\right)}^3-1={\left(\frac{1,01620}{1,01590}\right)}^3-1\approx 8,9\times 10^{-4}.$$ Au premier ordre, $(1+\epsilon {)}^3\approx 1+3\epsilon$ donne $x_v\approx 3\left(\frac{\Delta L}{L}-\frac{\Delta a}{a}\right)=3\times 3,0\times 10^{-4}=9,0\times 10^{-4}$, à $1,6\%$ près : l'approximation linéaire suffit à l'ordre de grandeur. Près de la fusion, environ un site sur mille est vide : c'est l'ordre de grandeur publié pour l'aluminium.

4) Masse volumique et précision. La masse réelle est $N_{\mathrm{at}}M/N_A$, le volume réel $\frac{N_s}{4}{a}^3$ ; donc $${\rho }_{\text{reˊel}}=\frac{4N_{\mathrm{at}}M}{N_A{N}_s{a}^3}=\frac{{\rho }_X}{1+x_v},\frac{{\rho }_X}{{\rho }_{\text{reˊel}}}-1=x_v\approx 9\times 10^{-4}.$$ Le modèle surestime $\rho$ de $0,09\%$ : mesurable, mais au quatrième chiffre.

Précision. $x_v$ se lit sur une différence de deux allongements : $x_v\approx 3\delta$ avec $\delta =\frac{\Delta L}{L}-\frac{\Delta a}{a}=3,0\times 10^{-4}$. Pour connaître $x_v$ à $10\%$ près, il faut $\delta$ à $3\times 10^{-5}$ près ; si l'on répartit l'erreur à parts égales entre les deux mesures, chaque allongement doit être connu à environ $1,5\times 10^{-5}$ près en valeur absolue — soit environ $10^{-3}$ en valeur relative sur des allongements de $1,6\times 10^{-2}$. La soustraction de deux grandeurs voisines ruine la précision relative : d'où des mesures simultanées sur le même échantillon.

À température ambiante. La fraction de lacunes croît très vite avec la température (loi du type d'Arrhenius) ; à $20{}^{\circ }\mathrm{C}$, on admet qu'elle est négligeable de plusieurs ordres de grandeur : le modèle y reste excellent (exercice 2).

Ce que l'exercice installe. Les limites du cristal parfait se mesurent : on cherche une grandeur que le modèle prévoit nulle. Deux réflexes en plus : le bilan de sites et la sensibilité d'une différence de deux mesures voisines.