PCS, PCI et la chaudière à condensation : un rendement de $106\%$

La stratégie. PCS et PCI sont deux enthalpies de réaction changées de signe, qui ne diffèrent que par l'état de l'eau formée. Pour la chaudière, on va de l'état initial (gaz et air à $25{}^{\circ }\mathrm{C}$) à l'état final réel (fumées et condensats à $40{}^{\circ }\mathrm{C}$) par un chemin fictif : réaction à $25{}^{\circ }\mathrm{C}$ avec l'eau vapeur, condensation à $25{}^{\circ }\mathrm{C}$ de ce qui sera liquide, échauffement de tout jusqu'à $40{}^{\circ }\mathrm{C}$. L'énergie cédée à l'eau du chauffage est l'opposé de cette variation d'enthalpie (chaudière sans pertes par ses parois).

1) Les deux pouvoirs calorifiques. Pour $\mathrm{CH}{}_4(\mathrm{g})+2\mathrm{O}{}_2(\mathrm{g})\to \mathrm{CO}{}_2(\mathrm{g})+2\mathrm{H}{}_2\mathrm{O}$ : $${\Delta }_r{H}_{(l)}^{\circ }=-393,51+2\times (-285,83)+74,81=-890,36\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1},$$ $${\Delta }_r{H}_{(g)}^{\circ }=-393,51+2\times (-241,82)+74,81=-802,34\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}.$$ $\mathrm{PCS}=890,4$ et $\mathrm{PCI}=802,3\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ ; la différence, $88,0$, vaut deux fois l'enthalpie de vaporisation de l'eau à $25{}^{\circ }\mathrm{C}$, $-241,82+285,83=44,0\mathrm{kJ}\mathrm{mo}{\mathrm{l}}^{-1}$ (loi de Hess) : le PCS compte l'énergie rendue par la condensation de l'eau, le PCI ne la compte pas. Par kilogramme : $\frac{890,4}{16,04\times 10^{-3}}=55,5\mathrm{MJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$ (PCS) et $50,0$ (PCI) ; par mètre cube normal : $\frac{890,4}{22,41\times 10^{-3}}=39,7\mathrm{MJ}{\mathrm{m}}^{-3}(\mathrm{n})$, soit $11,0\mathrm{kWh}{\mathrm{m}}^{-3}(\mathrm{n})$ (PCS) et $9,9$ (PCI). Les factures comptent en PCS (le gaz réel, qui contient un peu d'éthane, est un peu plus énergétique que le méthane).

2) Les fumées. Avec $\lambda =1,2$ : $2,4\mathrm{mol}$ de $\mathrm{O}{}_2$ et $2,4\times \frac{79}{21}=9,03\mathrm{mol}$ de $\mathrm{N}{}_2$. Combustion complète : $1\mathrm{mol}$ de $\mathrm{CO}{}_2$, $2$ de $\mathrm{H}{}_2\mathrm{O}$, $0,40$ de $\mathrm{O}{}_2$, $9,03$ de $\mathrm{N}{}_2$, soit $12,43\mathrm{mol}$, dont $10,43$ de gaz « secs ». $$x_{\mathrm{H}{}_2\mathrm{O}}=\frac{2}{12,43}=0,161,p_{\mathrm{H}{}_2\mathrm{O}}=0,161\times 101,3=16,3\mathrm{kPa}.$$ La condensation commence quand $p_{\mathrm{sat}}(\theta )<16,3\mathrm{kPa}$ : entre $55$ et $60{}^{\circ }\mathrm{C}$, l'interpolation linéaire donne ${\theta }_{\mathrm{ros}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{e}}\approx 55,6{}^{\circ }\mathrm{C}$.

3) La condensation partielle. À $40{}^{\circ }\mathrm{C}$, les fumées sont saturées : $\frac{n_v}{10,43+n_v}=\frac{7,38}{101,3}$, d'où $$n_v=\frac{10,43\times 7,38}{101,3-7,38}=0,82\mathrm{mol},n_c=2-0,82=1,18\mathrm{mol}\text{condenseˊe}$$ ($59\%$ de l'eau formée). Chemin fictif, en $\mathrm{kJ}$ par mole de méthane : réaction, $-802,3$ ; condensation de $1,18\mathrm{mol}$, $-1,18\times 44,0=-52,0$ ; échauffement de $25$ à $40{}^{\circ }\mathrm{C}$ des fumées sèches ($37,1+0,40\times 29,4+9,03\times 29,1=311,6\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}$), de la vapeur ($0,82\times 33,6$) et des condensats ($1,18\times 75,3$) : $(311,6+27,5+88,9)\times 15\times 10^{-3}=+6,4$. L'eau du chauffage reçoit $Q=802,3+52,0-6,4=847,9\mathrm{kJ}$ : $${\eta }_{\mathrm{PCI}}=\frac{847,9}{802,3}=105,7\%,{\eta }_{\mathrm{PCS}}=\frac{847,9}{890,4}=95,2\%.$$ Aucune violation : l'énergie disponible est le PCS, dont on récupère $95\%$. Le « $106\%$ » vient de la convention qui rapporte le rendement au PCI, héritée des chaudières qui ne condensaient pas. Les $5\%$ manquants : l'eau restée vapeur ($0,82\times 44,0=36\mathrm{kJ}$) et la chaleur sensible des fumées.

4) Cas limites. (a) À $60{}^{\circ }\mathrm{C}$, au-dessus de la rosée, rien ne se condense : $Q=802,34-(311,6+2\times 33,6)\times 35\times 10^{-3}=789,1\mathrm{kJ}$, soit $98,4\%$ du PCI ($88,6\%$ du PCS). (b) À $150{}^{\circ }\mathrm{C}$ : $Q=802,34-378,8\times 125\times 10^{-3}=755,0\mathrm{kJ}$, soit $94\%$ du PCI et $85\%$ du PCS. On gagne $10\%$ du PCS à condition que l'eau revienne froide, sous le point de rosée : émetteurs à basse température (plancher chauffant, radiateurs surdimensionnés).

Ce que l'exercice installe. L'état physique d'un produit fait partie de l'équation : PCS et PCI diffèrent de ${\Delta }_{vap}H$ par mole d'eau formée (loi de Hess). Le bilan d'une installation se fait sur un chemin fictif de l'état initial réel à l'état final réel, composition des fumées comprise (excès d'air, diazote). Un rendement « supérieur à $100\%$ » signale une convention de référence, pas une création d'énergie.